Zlatý řez

Rozdělte úsečku délky 910 cm na dva úseky tak, aby poměr menšího dílu ke většímu byl stejný jako poměr většího dílu k délce celé úsečky.

Správná odpověď:

x₁ =  347,59 cm
x₂ =  562,41 cm

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} \frac{x_1}{x_2}=\frac{x_2}{910} \\ {x}_1+x_2=910 \\ {x}_1\cdot 910=x_2^2 \\ {x}_1\cdot 910=(910-x_1{)}^2 \\ a\cdot 910=(910-a{)}^2 \\ a\cdot 910=(910-a{)}^2 \\ -a^2+2730a-828100=0 \\ {a}^2-2730a+828100=0 \\ p=1;q=-2730;r=828100 \\ D=q^2-4pr=2730^2-4\cdot 1\cdot 828100=4140500 \\ D>0 \\ {a}_{1,2}=\frac{-q\pm \sqrt{D}}{2p}=\frac{2730\pm \sqrt{4140500}}{2}=\frac{2730\pm 910\sqrt{5}}{2} \\ {a}_{1,2}=1365\pm 1017,41093 \\ {a}_1=2382,410929762 \\ {a}_2=347,589070238 \\ {x}_1=a_2=347,5891=347,59\text{cm} \end{gathered}$$

Výpočet overte naším kalkulátorem kvadratických rovnic.

$$\begin{gathered} x_2=910-x_1=910-347,5891\doteq 562,4109 \\ \text{ Zkousˇka spraˊvnosti: } \\ k=(1+\sqrt{5})/2\doteq 1,618 \\ {X}_2=x_1\cdot k=347,5891\cdot 1,618\doteq 562,4109\text{cm} \\ {x}_2=X_2=562,41\text{cm} \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad