Zlatý rez

Rozdeľte úsečku dĺžky 304 cm na dva úseky tak, aby pomer menšieho dielu ku väčšiemu bol rovnaký ako pomer väčšieho dielu k dĺžke celej úsečky.

Správna odpoveď:

x₁ =  116,12 cm
x₂ =  187,88 cm

Postup správneho riešenia:

$$\begin{gathered} \frac{x_1}{x_2}=\frac{x_2}{304} \\ {x}_1+x_2=304 \\ {x}_1\cdot 304=x_2^2 \\ {x}_1\cdot 304=(304-x_1{)}^2 \\ a\cdot 304=(304-a{)}^2 \\ a\cdot 304=(304-a{)}^2 \\ -a^2+912a-92416=0 \\ {a}^2-912a+92416=0 \\ p=1;q=-912;r=92416 \\ D=q^2-4pr=912^2-4\cdot 1\cdot 92416=462080 \\ D>0 \\ {a}_{1,2}=\frac{-q\pm \sqrt{D}}{2p}=\frac{912\pm \sqrt{462080}}{2}=\frac{912\pm 304\sqrt{5}}{2} \\ {a}_{1,2}=456\pm 339,882333 \\ {a}_1=795,88233258 \\ {a}_2=116,11766742 \\ {x}_1=a_2=116,1177=116,12\text{cm} \end{gathered}$$

Výpočet overte naším kalkulátorom kvadratických rovníc .

$$\begin{gathered} x_2=304-x_1=304-116,1177\doteq 187,8823 \\ \text{ Skuˊsˇka spraˊvnosti: } \\ k=(1+\sqrt{5})/2\doteq 1,618 \\ {X}_2=x_1\cdot k=116,1177\cdot 1,618\doteq 187,8823\text{cm} \\ {x}_2=X_2=187,88\text{cm} \end{gathered}$$

Skúsiť iný príklad