Nádoba tvaru válce

Nahoru otevřená nádoba tvaru válce má objem V = 3140 cm³. Určete rozměry válce (r, v) tak, aby na vytvoření této nádoby se minulo nejméně materiálu.

Správná odpověď:

r =  9,9983 cm
v =  9,9983 cm

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} V=3140{\text{cm}}^3 \\ V=\pi r^{2}v \\ v=V/(\pi r^2) \\ S=\pi r^2+2\pi rv \\ S=\pi r^2+2\pi rV/(\pi r^2) \\ S=\pi r^2+2\cdot 3140/r \\ {S}^{\prime }=2\pi r-6280/r^2 \\ {S}^{\prime }=0 \\ 2\pi r=6280/r^2 \\ 2\pi r^3=6280 \\ r=\sqrt[3]{6280/(2\pi )}=\sqrt[3]{6280/(2\cdot 3,1416)}\text{cm}=9,9983\text{cm} \end{gathered}$$

$v=V/(\pi \cdot r^2)=3140/(3,1416\cdot 9,9983^2)=9,9983\text{cm}$

Zkusit jiný příklad