GP složité

Určete zbývající veličiny v konečné geometrické posloupnosti, je-li dáno: a1 = 5, an = 320, sn = 635, n=?, q=?

Správná odpověď:

n =  7
q =  2

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} a_1=5 \\ a=320 \\ s=635 \\ a=a_1\cdot q^{n-1} \\ s=a_1\cdot \frac{q^n-1}{q-1} \\ a\cdot q=a_1\cdot q^n \\ a\cdot q-a_1=a_1\cdot (q^n-1) \\ s=a_1\cdot \frac{q^n-1}{q-1}=a_1\cdot \frac{(a\cdot q-a_1)/a_1}{q-1} \\ s=\frac{a\cdot q-a_1}{q-1} \\ s\cdot (q-1)=a\cdot q-a_1 \\ 635\cdot (q-1)=320\cdot q-5 \\ 315q=630 \\ q=\frac{630}{315}=2 \\ q=2 \\ a\cdot q=a_1\cdot q^n \\ a\cdot q/a_1=q^{n-1} \\ 64=2^{n-1} \\ {2}^6=2^{n-1} \\ n=6+1=7 \\ n=\frac{\ln (a\cdot q/a_1)}{\ln q} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} q=2 \\ \text{ Zkousˇka spraˊvnosti: } \\ {a}_2=q\cdot a_1=2\cdot 5=10 \\ {a}_3=q\cdot a_2=2\cdot 10=20 \\ {a}_4=q\cdot a_3=2\cdot 20=40 \\ {a}_5=q\cdot a_4=2\cdot 40=80 \\ {a}_6=q\cdot a_5=2\cdot 80=160 \\ {a}_7=q\cdot a_6=2\cdot 160=320 \\ {s}_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7=5+10+20+40+80+160+320=635 \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad