Posloupnosti 60183

Určete zbývající veličiny v konečné geometrické posloupnosti, je-li dáno: n = 4, an = 12,5, sn = 187,5, a1=?, q=?

Správná odpověď:

a₁ =  100
q =  0,5

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} n=4 \\ {a}_4=12,5 \\ {s}_4=187,5 \\ {a}_4=a_1\cdot q^{n-1}=a_1\cdot q^3 \\ {s}_4=a_1\cdot \frac{q^n-1}{q-1}=a_1\cdot \frac{q^4-1}{q-1} \\ {s}_4=\frac{a_4}{q^3}\cdot \frac{q^4-1}{q-1} \\ {s}_4=\frac{a_4}{q^3}\cdot \frac{(q^2-1)(q^2+1)}{q-1} \\ {s}_4=\frac{a_4}{q^3}\cdot \frac{(q-1)(q+1)(q^2+1)}{q-1} \\ {s}_4=\frac{a_4}{q^3}\cdot (q+1)(q^2+1) \\ {s}_4/a_4=\frac{(q+1)(q^2+1)}{q^3} \\ {s}_4\cdot q^3=a_4\cdot (q+1)(q^2+1) \\ q\ne 1 \\ q=1/2=\frac{1}{2}=0,5 \\ {a}_1=\frac{a_4}{q^3}=\frac{12,5}{0,5^3}=100 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \text{ Zkousˇka spraˊvnosti: } \\ {a}_2=q\cdot a_1=\frac{1}{2}\cdot 100=\frac{1\cdot 100}{2}=\frac{100}{2}=50 \\ {a}_3=q\cdot a_2=\frac{1}{2}\cdot 50=\frac{1\cdot 50}{2}=\frac{50}{2}=25 \\ s=a_1+a_2+a_3+a_4=100+50+25+12,5=\frac{375}{2}=187\frac{1}{2}=187,5 \\ q=\frac{1}{2}=0,5 \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad