Konečná posloupnost

Určete zbývající veličiny v konečné geometrické posloupnosti, je-li dáno: a1=18, an=13122, sn=19674, n=?, q=?

Správná odpověď:

n =  7
q =  3

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} a_1=18 \\ a=13122 \\ s=19674 \\ a=a_1\cdot q^{n-1} \\ s=a_1\cdot \frac{q^n-1}{q-1} \\ a\cdot q=a_1\cdot q^n \\ a\cdot q-a_1=a_1\cdot (q^n-1) \\ s=a_1\cdot \frac{q^n-1}{q-1}=a_1\cdot \frac{(a\cdot q-a_1)/a_1}{q-1} \\ s=\frac{a\cdot q-a_1}{q-1} \\ s\cdot (q-1)=a\cdot q-a_1 \\ 19674\cdot (q-1)=13122\cdot q-18 \\ 6552q=19656 \\ q=\frac{19656}{6552}=3 \\ q=3 \\ a\cdot q=a_1\cdot q^n \\ \ln (a\cdot q/a_1)=n\cdot \ln q \\ n=\frac{\ln (a\cdot q/a_1)}{\ln q}=\frac{\ln (13122\cdot 3/18)}{\ln 3}=7 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} q=3 \\ \text{ Zkousˇka spraˊvnosti: } \\ {a}_2=q\cdot a_1=3\cdot 18=54 \\ {a}_3=q\cdot a_2=3\cdot 54=162 \\ {a}_4=q\cdot a_3=3\cdot 162=486 \\ {a}_5=q\cdot a_4=3\cdot 486=1458 \\ {a}_6=q\cdot a_5=3\cdot 1458=4374 \\ {a}_7=q\cdot a_6=3\cdot 4374=13122 \\ {s}_7=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7=18+54+162+486+1458+4374+13122=19674 \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad