Pravděpodobnost 81574

Vedoucí výroby výrobního podniku zjistí, že 2 z každých 20 kusů konkrétního vyrobeného jsou vadné. V konkrétní výrobní hodině 8 jednotek produktu, kde se vyrobilo, určilo pravděpodobnost, že:
(1) žádný z nich není vadný
(2) Nejvíce čtyři z nich jsou vadné
(3) Více než 3 z nich jsou vadné
(4) přesně 2 z nich jsou vadné

Správná odpověď:

a =  0,4305
b =  0,9996
c =  0,005
d =  0,1488

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} n=8 \\ p=\frac{2}{20}=\frac{1}{10}=0,1 \\ {a}_0=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0}\right)\cdot p^0\cdot (1-p{)}^{n-0}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{0})\cdot 0,1^0\cdot (1-0,1{)}^{8-0}=1\cdot 0,1^0\cdot 0,9^8\doteq 0,4305 \\ {a}_1=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1}\right)\cdot p^1\cdot (1-p{)}^{n-1}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{1})\cdot 0,1^1\cdot (1-0,1{)}^{8-1}=8\cdot 0,1^1\cdot 0,9^7\doteq 0,3826 \\ {a}_2=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)\cdot p^2\cdot (1-p{)}^{n-2}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{2})\cdot 0,1^2\cdot (1-0,1{)}^{8-2}=28\cdot 0,1^2\cdot 0,9^6\doteq 0,1488 \\ {a}_3=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{3}\right)\cdot p^3\cdot (1-p{)}^{n-3}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{3})\cdot 0,1^3\cdot (1-0,1{)}^{8-3}=56\cdot 0,1^3\cdot 0,9^5\doteq 0,0331 \\ {a}_4=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{4}\right)\cdot p^4\cdot (1-p{)}^{n-4}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{4})\cdot 0,1^4\cdot (1-0,1{)}^{8-4}=70\cdot 0,1^4\cdot 0,9^4\doteq 0,0046 \\ a=a_0=0,4305 \end{gathered}$$

$b=a_0+a_1+a_2+a_3+a_4=0,4305+0,3826+0,1488+0,0331+0,0046=0,9996$

$c=1-(a_0+a_1+a_2+a_3)=1-(0,4305+0,3826+0,1488+0,0331)=0,005$

$d=a_2=0,1488$

Zkusit jiný příklad