Pravděpodobnost 81887

Celkem bylo dotázaných 160 rodin se 4 dětmi s následujícími výsledky.

Chlapci	4	3	2	1	0
Dívky	0	1	2	3	4
Rodiny	7	50	55	32	16

Ať je pravděpodobnost výběru chlapce nebo dívky 1/2. Nechť P = kluk, Q = holka.
Jaká je pravděpodobnost získání:

a) Všichni kluci
b) tři kluci, jedna holka
c) dva kluci, dvě dívky
d) jeden kluk, tři dívky
e) Všechny dívky

Správná odpověď:

p₁ =  0,0438
p₂ =  0,3125
p₃ =  0,3438
p₄ =  0,2
p₅ =  0,1

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} p_0=1/2=\frac{1}{2}=0,5 \\ n=160 \\ {p}_1=\frac{7}{n}=\frac{7}{160}=0,0438 \end{gathered}$$

$p_2=\frac{50}{n}=\frac{50}{160}=0,3125$

$p_3=\frac{55}{n}=\frac{55}{160}=0,3438$

$p_4=\frac{32}{n}=\frac{32}{160}=0,2$

$$\begin{gathered} p_5=\frac{16}{n}=\frac{16}{160}=\frac{1}{10}=0,1 \\ \text{ Zkousˇka spraˊvnosti: } \\ {P}_1=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{4}\right)\cdot p_0^4\cdot (1-p_0{)}^{4-4}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{4})\cdot 0,5^4\cdot (1-0,5{)}^{4-4}=1\cdot 0,5^4\cdot 0,5^0=\frac{1}{16}=0,0625 \\ {P}_2=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)\cdot p_0^3\cdot (1-p_0{)}^{4-3}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3})\cdot 0,5^3\cdot (1-0,5{)}^{4-3}=4\cdot 0,5^3\cdot 0,5^1=\frac{1}{4}=0,25 \\ {P}_3=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)\cdot p_0^2\cdot (1-p_0{)}^{4-2}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2})\cdot 0,5^2\cdot (1-0,5{)}^{4-2}=6\cdot 0,5^2\cdot 0,5^2=\frac{3}{8}=0,375 \\ {P}_4=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{1}\right)\cdot p_0^1\cdot (1-p_0{)}^{4-1}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{1})\cdot 0,5^1\cdot (1-0,5{)}^{4-1}=4\cdot 0,5^1\cdot 0,5^3=\frac{1}{4}=0,25 \\ {P}_5=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{0}\right)\cdot p_0^0\cdot (1-p_0{)}^{4-0}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{0})\cdot 0,5^0\cdot (1-0,5{)}^{4-0}=1\cdot 0,5^0\cdot 0,5^4=\frac{1}{16}=0,0625 \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad