Stan - polokoule

Mám stan ve tvaru kulové čepice (kulový odstavec). Předpokládejme, že chceme, aby objem byl 4 metry krychlové, aby se tam vyspali dva nebo tři lidé. Předpokládejme, že materiál tvořící kopuli desítky je dvakrát dražší na čtverec než materiál dotýkající se země. Jaké by měly být rozměry stanu, aby náklady na materiál byly minimální? S = 2*PI*R*ha
V = (1/3)*PI*h*h*(3R-h).

Děkuji!

Správná odpověď:

S =  9,672 m²
h =  1,2407 m
R =  1,2407 m

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} S=2\pi \cdot R\cdot h \\ V=4{\text{m}}^3 \\ V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot h\cdot h\cdot (3R-h) \\ 3\cdot V/\pi =h^2\cdot (3R-h) \\ 3\cdot V/\pi /h^2=3R-h \\ 3\cdot V/\pi /h^2+h=3R \\ R=\frac{V}{\pi \cdot h^2}+h/3 \\ S=2\pi \cdot R\cdot h \\ S=2\pi \cdot (\frac{V}{\pi \cdot h^2}+h/3)\cdot h \\ S=(2\pi h^2)/3+(2V)/h \\ {S}^{\prime }=dS/dh=(4\pi h)/3-(2V)/h^2 \\ h=\sqrt[3]{6/\pi }=\sqrt[3]{6/3,1416}\doteq 1,2407\text{m} \\ R=\frac{V}{\pi \cdot h^2}+h/3=\frac{4}{3,1416\cdot 1,2407^2}+1,2407/3\doteq 1,2407\text{m} \\ S=2\pi \cdot R\cdot h=2\cdot 3,1416\cdot 1,2407\cdot 1,2407=9,672{\text{m}}^2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} R=1,2407\doteq 1,2407\text{m} \\ \text{ Zkousˇka spraˊvnosti: } \\ {V}_2=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot h^2\cdot (3\cdot R-h)=\frac{1}{3}\cdot 3,1416\cdot 1,2407^2\cdot (3\cdot 1,2407-1,2407)=4{\text{m}}^3 \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad