Guľová čiapka

Mám stan v tvare guľovej čiapky (guľový odsek). Predpokladajme, že chceme, aby objem bol 4 metre kubické, aby sa tam vyspali dvaja alebo traja ľudia. Predpokladajme, že materiál tvoriaci kupolu desiatky je dvakrát drahší na štvorec ako materiál dotýkajúci sa zeme. Aké by mali byť rozmery stanu, aby náklady na materiál boli minimálne? S = 2*PI*R*h a
V = (1/3)*PI*h*h*(3R-h).

Ďakujem!

Správna odpoveď:

S =  9,672 m²
h =  1,2407 m
R =  1,2407 m

Postup správneho riešenia:

$$\begin{gathered} S=2\pi \cdot R\cdot h \\ V=4{\text{m}}^3 \\ V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot h\cdot h\cdot (3R-h) \\ 3\cdot V/\pi =h^2\cdot (3R-h) \\ 3\cdot V/\pi /h^2=3R-h \\ 3\cdot V/\pi /h^2+h=3R \\ R=\frac{V}{\pi \cdot h^2}+h/3 \\ S=2\pi \cdot R\cdot h \\ S=2\pi \cdot (\frac{V}{\pi \cdot h^2}+h/3)\cdot h \\ S=(2\pi h^2)/3+(2V)/h \\ {S}^{\prime }=dS/dh=(4\pi h)/3-(2V)/h^2 \\ h=\sqrt[3]{6/\pi }=\sqrt[3]{6/3,1416}\doteq 1,2407\text{m} \\ R=\frac{V}{\pi \cdot h^2}+h/3=\frac{4}{3,1416\cdot 1,2407^2}+1,2407/3\doteq 1,2407\text{m} \\ S=2\pi \cdot R\cdot h=2\cdot 3,1416\cdot 1,2407\cdot 1,2407=9,672{\text{m}}^2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} R=1,2407\doteq 1,2407\text{m} \\ \text{ Skuˊsˇka spraˊvnosti: } \\ {V}_2=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot h^2\cdot (3\cdot R-h)=\frac{1}{3}\cdot 3,1416\cdot 1,2407^2\cdot (3\cdot 1,2407-1,2407)=4{\text{m}}^3 \end{gathered}$$

Skúsiť iný príklad