Betka
Betka si myslela přirozené číslo s navzájem různými ciframi a napsala ho na tabuli. Pod něj zapsala cifry původního čísla odzadu a tak získala nové číslo. Sečtením těchto dvou čísel dostala číslo, které mělo stejný počet cifer jako myšleny číslo a skládalo se pouze z číslic myšleného čísla (avšak nemuselo obsahovat všechny jeho cifry). Erice se Betkino číslo zalíbilo a chtěla najít jiné číslo se stejnými vlastnostmi. Zjistila, že neexistuje menší takové číslo jako Betkino a větší se jí hledat nechtělo. Určete, jaké číslo si myslela Bětka a jaké číslo by mohla najít Erika, kdyby měla více trpělivosti.
Správná odpověď:
Zobrazuji 8 komentářů:
Peter2
Nápověda. Zvažujte postupně možnosti, kdy je myšlené číslo jednomístné, dvojmístné atd. V jednotlivých případech přemýšlejte postupně nad možnými součty na místě jednotek, desítek atd.
Možné řešení. Nejprve najdeme Bětčino číslo, tj. nejmenší číslo s uvedenými vlastnostmi.
1) Předpokládejme, že Bětčino číslo je jednomístné, a označíme si je a. Potom by podle zadání muselo platit a + a = a, což platí pouze když a = 0. Nula však není přirozené číslo, takže Bětčino myšlené číslo nemůže být jednomístné.
2) Předpokládejme, že Bětčino číslo je dvojmístné, a označíme si je ab. Ať už součet ab + ba dopadne jakkoli, na místě jednotek čteme buď b + a = a, nebo b + a = b. Odtud dostáváme buď b = 0, nebo a = 0. V takovém případě by však buď číslo ba, nebo číslo ab nebylo dvojmístné. Bětčino myšlené číslo tedy nemůže být dvojmístné.
3) Předpokládejme, že Bětčino číslo je trojmístné, a označíme si je abc. Ze stejného důvodu jako výše nemohou být čísla a a c nuly, tedy v součtu abc+cba se na místě jednotek může objevit jedině b:
a b c
c b a
____
∗ ∗ b
Současně c + a nemůže být větší než 9, protože potom by celkový součet abc + cba nebyl trojmístný. Odtud se dozvídáme, že
a + c = b
což mimo jiné znamená, že ani číslice b nemůže být 0. Odtud plyne, že součet b + b na místě desítek nemůže být menší než 10; v takovém případě by tento součet byl roven jednomu z čísel a, b, c, což vždy vede k nějakému sporu s předchozími poznatky:
Pokud b + b = a nebo b + b = c, potom podle (1) dostáváme 2a + 2c = a nebo 2a + 2c = c, tedy a = −2c nebo c = −2a, což není možné.
• Pokud b + b = b, potom b = 0, což není možné.
Součet b + b na místě desítek však nemůže být ani větší než 9. V takovém případě by součet na místě stovek byl a + c + 1 a toto číslo má být rovno jednomu z čísel a, b, c; to vždy vede k nějakému sporu:
• Pokud a + c + 1 = a nebo a + c + 1 = c, potom c = −1 nebo a = −1, což není možné.
• Pokud a+c+ 1 = b, potom podle (1) dostáváme b+ 1 = b, tedy 1 = 0, což není možné.
Bětčino myšlené číslo tedy nemůže být ani trojmístné.
4) Předpokládejme, že Bětčino číslo je čtyřmístné, a označíme si je abcd. Ze stejného důvodu jako výše nemohou být čísla a a d nuly, tedy v součtu abcd + dcba se na místě jednotek může objevit buď b, nebo c:
a b c d
d c b a
----------
∗ ∗ ∗ b
a b c d
d c b a
----------
∗ ∗ ∗ c
Současně d + a nemůže být větší než 9, protože potom by celkový součet abcd + dcba nebyl čtyřmístný. Odtud se dozvídáme, že
buď a + d = b, (dale jen 2)
nebo a + d = c. (dale jen 3)
To mimo jiné znamená, že buď b <> 0, nebo c <> 0.
Nyní předpokládáme, že součet c+b na místě desítek je menší než 10, tzn. tento součet je roven jednomu z čísel a, b, c, d, a prozkoumáme jednotlivé případy. Nejprve uvažujme platnost (2), a tedy b <> 0:
• Pokud b + c = a nebo b + c = d, potom podle (2) dostáváme a + d + c = a nebo a + d + c = d, tedy c = −d nebo c = −a, což není možné.
• Pokud b + c = b, potom c = 0 (což ničemu nevadí).
• Pokud b + c = c, potom b = 0, což není možné.
Podobně, za předpokladu (3) zjistíme, že jediná přípustná možnost je
• b + c = c, tedy b = 0
Celkem tak objevujeme dva možné případy:
a b 0 d
d 0 b a
----------
b b b b
a 0 c d
d c 0 a
----------
c c c c
Protože Bětčino číslo je nejmenší číslo vyhovující všem uvedeným podmínkám, vůbec se nemusíme zabývat případem, kdy součet c + b je větší než 9, a soustředíme se výhradně na druhou z výše jmenovaných možností, tj. b = 0. Dosadíme nejmenší možné číslo na místo tisícovek a = 1 a zjišťujeme, že c = d + 1. Nejmenší vyhovující možnost je d = 2 a c = 3. Bětka si tedy hrála s číslem 1032 a její výpočet vypadal takto:
1 0 3 2
2 3 0 1
----------
3 3 3 3
Z výše uvedeného je nyní snadné doplnit nějaké jiné číslo s uvedenými vlastnostmi, tedy nějaké Eričino číslo. Např. stačí v Bětčině čísle zaměnit číslice na místě jednotek a tisícovek nebo číslice na místě desítek a stovek, příp. uvažovat jakákoli čísla tvaru (4). Mezi možnými řešeními jsou také čísla, kdy součet c+b je větší než 9. Zde je několik řešení, na která mohla Erika přijít, kdyby ovšem nebyla tak netrpělivá:
1 0 4 3
3 4 0 1
----------
4 4 4 4
1 3 0 2
2 0 3 1
----------
3 3 3 3
1 8 9 7
7 9 8 1
----------
9 8 7 8
Poznámky. a) Pokud umíme zdůvodnit, že hledané Bětčino číslo musí být aspoň čtyřmístné, potom je lze snadno najít zkoušením:
Nejmenší čtyřmístné číslo s navzájem různými číslicemi je 1023. Toto číslo však není řešením, neboť 1023 + 3201 = 4224. Pokud nás napadne prohodit číslice 2 a 3, dostaneme vyhovující řešení: 1032 + 2301 = 3333. Abychom se přesvědčili, že toto řešení je nejmenší možné, stačí ověřit, že žádné číslo mezi 1023 a 1032 nevyhovuje některé z uvedených podmínek.
b) Nahrazení ostatních úvah zkoušením je také možné, avšak často velmi pracné. Nicméně pokud je řešení založené na zkoušení úplné, nechť je považováno za správné.
Jakékoli dílčí obecné postřehy mohou počet možností k prozkoušení zajímavě snižovat (např. počet trojic různých čísel od 1 do 9 vyhovujících rovnosti (1) jistě není větší než 32.
Možné řešení. Nejprve najdeme Bětčino číslo, tj. nejmenší číslo s uvedenými vlastnostmi.
1) Předpokládejme, že Bětčino číslo je jednomístné, a označíme si je a. Potom by podle zadání muselo platit a + a = a, což platí pouze když a = 0. Nula však není přirozené číslo, takže Bětčino myšlené číslo nemůže být jednomístné.
2) Předpokládejme, že Bětčino číslo je dvojmístné, a označíme si je ab. Ať už součet ab + ba dopadne jakkoli, na místě jednotek čteme buď b + a = a, nebo b + a = b. Odtud dostáváme buď b = 0, nebo a = 0. V takovém případě by však buď číslo ba, nebo číslo ab nebylo dvojmístné. Bětčino myšlené číslo tedy nemůže být dvojmístné.
3) Předpokládejme, že Bětčino číslo je trojmístné, a označíme si je abc. Ze stejného důvodu jako výše nemohou být čísla a a c nuly, tedy v součtu abc+cba se na místě jednotek může objevit jedině b:
a b c
c b a
____
∗ ∗ b
Současně c + a nemůže být větší než 9, protože potom by celkový součet abc + cba nebyl trojmístný. Odtud se dozvídáme, že
a + c = b
což mimo jiné znamená, že ani číslice b nemůže být 0. Odtud plyne, že součet b + b na místě desítek nemůže být menší než 10; v takovém případě by tento součet byl roven jednomu z čísel a, b, c, což vždy vede k nějakému sporu s předchozími poznatky:
Pokud b + b = a nebo b + b = c, potom podle (1) dostáváme 2a + 2c = a nebo 2a + 2c = c, tedy a = −2c nebo c = −2a, což není možné.
• Pokud b + b = b, potom b = 0, což není možné.
Součet b + b na místě desítek však nemůže být ani větší než 9. V takovém případě by součet na místě stovek byl a + c + 1 a toto číslo má být rovno jednomu z čísel a, b, c; to vždy vede k nějakému sporu:
• Pokud a + c + 1 = a nebo a + c + 1 = c, potom c = −1 nebo a = −1, což není možné.
• Pokud a+c+ 1 = b, potom podle (1) dostáváme b+ 1 = b, tedy 1 = 0, což není možné.
Bětčino myšlené číslo tedy nemůže být ani trojmístné.
4) Předpokládejme, že Bětčino číslo je čtyřmístné, a označíme si je abcd. Ze stejného důvodu jako výše nemohou být čísla a a d nuly, tedy v součtu abcd + dcba se na místě jednotek může objevit buď b, nebo c:
a b c d
d c b a
----------
∗ ∗ ∗ b
a b c d
d c b a
----------
∗ ∗ ∗ c
Současně d + a nemůže být větší než 9, protože potom by celkový součet abcd + dcba nebyl čtyřmístný. Odtud se dozvídáme, že
buď a + d = b, (dale jen 2)
nebo a + d = c. (dale jen 3)
To mimo jiné znamená, že buď b <> 0, nebo c <> 0.
Nyní předpokládáme, že součet c+b na místě desítek je menší než 10, tzn. tento součet je roven jednomu z čísel a, b, c, d, a prozkoumáme jednotlivé případy. Nejprve uvažujme platnost (2), a tedy b <> 0:
• Pokud b + c = a nebo b + c = d, potom podle (2) dostáváme a + d + c = a nebo a + d + c = d, tedy c = −d nebo c = −a, což není možné.
• Pokud b + c = b, potom c = 0 (což ničemu nevadí).
• Pokud b + c = c, potom b = 0, což není možné.
Podobně, za předpokladu (3) zjistíme, že jediná přípustná možnost je
• b + c = c, tedy b = 0
Celkem tak objevujeme dva možné případy:
a b 0 d
d 0 b a
----------
b b b b
a 0 c d
d c 0 a
----------
c c c c
Protože Bětčino číslo je nejmenší číslo vyhovující všem uvedeným podmínkám, vůbec se nemusíme zabývat případem, kdy součet c + b je větší než 9, a soustředíme se výhradně na druhou z výše jmenovaných možností, tj. b = 0. Dosadíme nejmenší možné číslo na místo tisícovek a = 1 a zjišťujeme, že c = d + 1. Nejmenší vyhovující možnost je d = 2 a c = 3. Bětka si tedy hrála s číslem 1032 a její výpočet vypadal takto:
1 0 3 2
2 3 0 1
----------
3 3 3 3
Z výše uvedeného je nyní snadné doplnit nějaké jiné číslo s uvedenými vlastnostmi, tedy nějaké Eričino číslo. Např. stačí v Bětčině čísle zaměnit číslice na místě jednotek a tisícovek nebo číslice na místě desítek a stovek, příp. uvažovat jakákoli čísla tvaru (4). Mezi možnými řešeními jsou také čísla, kdy součet c+b je větší než 9. Zde je několik řešení, na která mohla Erika přijít, kdyby ovšem nebyla tak netrpělivá:
1 0 4 3
3 4 0 1
----------
4 4 4 4
1 3 0 2
2 0 3 1
----------
3 3 3 3
1 8 9 7
7 9 8 1
----------
9 8 7 8
Poznámky. a) Pokud umíme zdůvodnit, že hledané Bětčino číslo musí být aspoň čtyřmístné, potom je lze snadno najít zkoušením:
Nejmenší čtyřmístné číslo s navzájem různými číslicemi je 1023. Toto číslo však není řešením, neboť 1023 + 3201 = 4224. Pokud nás napadne prohodit číslice 2 a 3, dostaneme vyhovující řešení: 1032 + 2301 = 3333. Abychom se přesvědčili, že toto řešení je nejmenší možné, stačí ověřit, že žádné číslo mezi 1023 a 1032 nevyhovuje některé z uvedených podmínek.
b) Nahrazení ostatních úvah zkoušením je také možné, avšak často velmi pracné. Nicméně pokud je řešení založené na zkoušení úplné, nechť je považováno za správné.
Jakékoli dílčí obecné postřehy mohou počet možností k prozkoušení zajímavě snižovat (např. počet trojic různých čísel od 1 do 9 vyhovujících rovnosti (1) jistě není větší než 32.
8 let 2 Likes
žák01
Proč to nemůže být například 10?
10 + 01 = 11
To stejné platí pro všechny násobky deseti až do devadesáti.
10 + 01 = 11
To stejné platí pro všechny násobky deseti až do devadesáti.
Mik
K nápovědě Peter2 - bod 2 dvojmístné číslo, "Předpokládejme, že Bětčino číslo je dvojmístné, a označíme si je ab. Ať už součet ab + ba dopadne jakkoli, na místě jednotek čteme buď b + a = a, nebo b + a = b. Odtud dostáváme buď b = 0, nebo a = 0. V takovém případě by však buď číslo ba, nebo číslo ab nebylo dvojmístné"
To je sice pravda, ale v zadání není napsáno, že zadáním čísel odzadu má vzniknout opět číslo se stejným počtem míst ("Pod něj zapsala cifry původního čísla odzadu a tak získala nové číslo")
Řekl bych tedy, že násobky deseti do devadesáti mohou být řešením.
To je sice pravda, ale v zadání není napsáno, že zadáním čísel odzadu má vzniknout opět číslo se stejným počtem míst ("Pod něj zapsala cifry původního čísla odzadu a tak získala nové číslo")
Řekl bych tedy, že násobky deseti do devadesáti mohou být řešením.
K vyřešení této úlohy jsou potřebné tyto znalosti z matematiky:
Téma:
Úroveň náročnosti úkolu:
Související a podobné příklady:
- V jednom
V jednom panelovém domě je 13 páteř a 7 vchodů. V každém vchodu jsou v každém z devíti páteř 2 třípokojové a 1 dvou pokojový byt, ve zbývajících čtyřech patrech je v každém patře vždy 1 ctyrpokojový a 2 dvou pokojové byty. Vypočítejte, kolik je v tomto v - Oddíl 6
Oddíl má 90 členů. Starších dorostenců je v oddíle o 4 více než mladších dorostenců. Starších žáků je o 10 více než všech dorostenců. Kolik je v oddíle starších a mladších dorostenců a kolik starších žáků? - Ve které
Ve které aritmetické posloupnosti je součet prvých pěti členů s indexy lichými rovný číslům 85 a součet prvých pěti členů s indexy sudými rovný číslu 100? - Výraz závorky
Který výraz se rovná 12? ...
- Přistěhovalo 80981
Z novoročního projevu starosty obce víme: ... S bolestí v srdci vzpomínáme na naše nejbližší, přátele a známé, kteří již nejsou mezi námi. V loňském roce nás navždy opustilo 38 obyvatel, z toho 21 žen a 17 mužů. Na opačné straně, potěšení do života rodin - Caesar
Gaius Julius Caesar se narodil v roce 100 př. n.l. byl zavražděn když mu bylo 56 let. Vypočítej: a) v kterém roce byl zavražděn? b) Před kolika lety se narodil? c) Před kolika lety zemřel? - Každý 5
Každý ze tří sčítanců je o 5 větší než předchozí. Součet všech je 78. O která čísla se jedná. - V sedmi
V sedmi regálech je srovnáno 91 knih tak, že v každém následujícím regálu je o 4 knihy více než v předchozím. Kolik knih je v 7. regálu? - Hrušek 79814
Filip má 8 hrušek. Filip mě o 5 hrušek méně než Rasťo. Kolik hrušek mě Rasťo?
- Solve
Řešte algebrogram (rovnici s písmeny, kde písmeno je jedna číslice) Fot Bal — Cvik - Součet 39
Součet pěti po sobě jdoucích přirozených čísel je 75. Jaké je nejmenší z těchto čísel? - Červených 63284
V balíčku jsou bílé, červené a zelené bonbóny. Počet bílých a červených bonbonů je v poměru 1:3, počet červených a zelených bonbonů je v poměru 4:7. Zelených bonbonů je o 20 více než bílých a červených dohromady. Kolik je všech bonbonů? - Čísla 11
Čísla 18, 28, 32, 40, 48, 200 vyjádřete jako číselné výrazy složené přesně z 5 dvojek. - Rozšířila 61504
O kolik obyvatel se rozšířila EU v roce 1973 když se staly jejími členy Dánsko 5 400 000 Irsko 4 000 000 a Velká Británie 59 300 000?
- AP součet
Mezi čísla 1 a 53 vložte tolik členů aritmetické posloupnosti, aby jejich součet byl 702. - Vierka 3 MO Z8
Vierka ze tří daných číslic sestavovala navzájem různá trojmístné čísla. Když všechna tato čísla sečetla, vyšlo jí 1221. Jaké číslice Vierka použila? Určete pět možností - Součet 36
Součet dvou čísel je 69 a rozdíl 11. Která čísla to jsou?