Ve které

Ve které aritmetické posloupnosti je součet prvých pěti členů s indexy lichými rovný číslům 85 a součet prvých pěti členů s indexy sudými rovný číslu 100?

Správná odpověď:

a₁ =  5
d =  3

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} a_1+a_3+a_5+a_7+a_9=85 \\ {a}_2+a_4+a_6+a_8+a_{10}=100 \\ 5a_1+(2+4+6+8)d=85 \\ 5a_1+(1+3+5+7+9)d=100 \\ 5\cdot a_1+(2+4+6+8)\cdot d=85 \\ 5\cdot a_1+(1+3+5+7+9)\cdot d=100 \\ 5a_1+20d=85 \\ 5a_1+25d=100 \\ \check{R}\acute{a}dek2-\check{R}\acute{a}dek1\to \check{R}\acute{a}dek2 \\ 5a_1+20d=85 \\ 5d=15 \\ d=\frac{15}{5}=3 \\ {a}_1=\frac{85-20d}{5}=\frac{85-20\cdot 3}{5}=5 \\ {a}_1=5 \\ d=3 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} d=3 \\ \text{ Zkousˇka spraˊvnosti: } \\ {a}_2=a_1+d=5+3=8 \\ {a}_3=a_2+d=8+3=11 \\ {a}_4=a_3+d=11+3=14 \\ {a}_5=a_4+d=14+3=17 \\ {a}_6=a_5+d=17+3=20 \\ {a}_7=a_6+d=20+3=23 \\ {a}_8=a_7+d=23+3=26 \\ {a}_9=a_8+d=26+3=29 \\ {a}_{10}=a_9+d=29+3=32 \\ {s}_1=a_1+a_3+a_5+a_7+a_9=5+11+17+23+29=85 \\ {s}_2=a_2+a_4+a_6+a_8+a_{10}=8+14+20+26+32=100 \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad