Výpočet trojuholníka - výsledok

Prosím prosím zadajte čo o trojuholníku viete:
Definícia symbolov ABC trojuholníka

Zadané strana b, c a obsah S.

Trojuholník má dve riešenia: a=5.76999996488; b=4; c=2 a a=2.74404386516; b=4; c=2.

#1 Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 5.76999996488   b = 4   c = 2

Obsah trojuholníka: S = 2.5
Obvod trojuholníka: o = 11.76999996488
Semiperimeter (poloobvod): s = 5.85499998244

Uhol ∠ A = α = 141.31878125465° = 141°19'4″ = 2.46664611207 rad
Uhol ∠ B = β = 26.01443677223° = 26°52″ = 0.45440363696 rad
Uhol ∠ C = γ = 12.66878197312° = 12°40'4″ = 0.22110951634 rad

Výška trojuholníka: va = 0.87771930365
Výška trojuholníka: vb = 1.25
Výška trojuholníka: vc = 2.5

Ťažnica: ta = 1.37702193258
Ťažnica: tb = 3.77442546282
Ťažnica: tc = 4.82113066692

Polomer vpísanej kružnice: r = 0.42773504402
Polomer opísanej kružnice: R = 4.56599997191

Súradnice vrcholov: A[2; 0] B[0; 0] C[5.12224989992; 2.5]
Ťažisko: T[2.37441663331; 0.83333333333]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[1; 4.44989995997]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[1.85499998244; 0.42773504402]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 38.68221874535° = 38°40'56″ = 2.46664611207 rad
∠ B' = β' = 153.98656322777° = 153°59'8″ = 0.45440363696 rad
∠ C' = γ' = 167.33221802688° = 167°19'56″ = 0.22110951634 rad




Ako sme vypočítali tento trojuholník?

1. Zadané vstupné údaje: strana b, c a obsah S.

b = 4 ; ; c = 2 ; ; S = 2.5 ; ;

2. Z obsahu S, strany b a strany c vypočítame stranu a - použitím Herónovho vzorca pre obsah a riešením bikvadratickej rovnice:

s = fraction{ a+b+c }{ 2 } ; ; S**2 = s(s-a)(s-b)(s-c) ; ; ; ; s = fraction{ a+4+2 }{ 2 } = fraction{ a+6 }{ 2 } = a/2 + 3 ; ; ; ; S**2 = s(s-a)(s-b)(s-c) ; ; S**2 = ( a/2 + 3) ( a/2 + 3-a) ( a/2 + 3-4) ( a/2 + 3 - 2) ; ; ; ; 2.5**2 = ( a/2 + 3) ( 3-a/2) ( a/2 + (-1)) ( a/2 + 1) ; ; 100 = ( a + 6) ( 6-a) ( a + (-2)) ( a + 2) ; ; ; ; D = b**2 * c**2 - 4 * S**2 = 4**2 * 2**2 - 4 * 2.5**2 = 39 ; ; ; ; D_1 = -2 * sqrt{ D } + b**2 + c**2 = -2 * sqrt{ 39 } + 4**2 + 2**2 = 7.51 ; ; D_2 = 2 * sqrt{ D } + b**2 + c**2 = 2 * sqrt{ 39 } + 4**2 + 2**2 = 32.49 ; ; ; ; a_1 = sqrt{ D_1 } = sqrt{ 7.51 } = 2.74 ; ; a_2 = sqrt{ D_2 } = sqrt{ 32.49 } = 5.7 ; ;


Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený. Ďalej preto výpočet je rovnaký a dopočítajú sa ďaľšie jeho vlastnosti - vlastne výpočet trojuholníka zo známych troch strán SSS.

a = 5.7 ; ; b = 4 ; ; c = 2 ; ;

3. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a+b+c = 5.7+4+2 = 11.7 ; ;

4. Polovičný obvod trojuholníka

s = fraction{ o }{ 2 } = fraction{ 11.7 }{ 2 } = 5.85 ; ;

5. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

S = sqrt{ s(s-a)(s-b)(s-c) } ; ; S = sqrt{ 5.85 * (5.85-5.7)(5.85-4)(5.85-2) } ; ; S = sqrt{ 6.25 } = 2.5 ; ;

6. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

S = fraction{ a v _a }{ 2 } ; ; v _a = fraction{ 2 S }{ a } = fraction{ 2 * 2.5 }{ 5.7 } = 0.88 ; ; v _b = fraction{ 2 S }{ b } = fraction{ 2 * 2.5 }{ 4 } = 1.25 ; ; v _c = fraction{ 2 S }{ c } = fraction{ 2 * 2.5 }{ 2 } = 2.5 ; ;

7. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

a**2 = b**2+c**2 - 2bc cos alpha ; ; alpha = arccos( fraction{ b**2+c**2-a**2 }{ 2bc } ) = arccos( fraction{ 4**2+2**2-5.7**2 }{ 2 * 4 * 2 } ) = 141° 19'4" ; ; b**2 = a**2+c**2 - 2ac cos beta ; ; beta = arccos( fraction{ a**2+c**2-b**2 }{ 2ac } ) = arccos( fraction{ 5.7**2+2**2-4**2 }{ 2 * 5.7 * 2 } ) = 26° 52" ; ; gamma = 180° - alpha - beta = 180° - 141° 19'4" - 26° 52" = 12° 40'4" ; ;

8. Polomer vpísanej kružnice

S = rs ; ; r = fraction{ S }{ s } = fraction{ 2.5 }{ 5.85 } = 0.43 ; ;

9. Polomer opísanej kružnice

R = fraction{ a }{ 2 * sin alpha } = fraction{ 5.7 }{ 2 * sin 141° 19'4" } = 4.56 ; ;

10. Výpočet ťažníc

t_a = fraction{ sqrt{ 2 b**2+2c**2 - a**2 } }{ 2 } = fraction{ sqrt{ 2 * 4**2+2 * 2**2 - 5.7**2 } }{ 2 } = 1.37 ; ; t_b = fraction{ sqrt{ 2 c**2+2a**2 - b**2 } }{ 2 } = fraction{ sqrt{ 2 * 2**2+2 * 5.7**2 - 4**2 } }{ 2 } = 3.774 ; ; t_c = fraction{ sqrt{ 2 b**2+2a**2 - c**2 } }{ 2 } = fraction{ sqrt{ 2 * 4**2+2 * 5.7**2 - 2**2 } }{ 2 } = 4.821 ; ;







#2 Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 2.74404386516   b = 4   c = 2

Obsah trojuholníka: S = 2.5
Obvod trojuholníka: o = 8.74404386516
Semiperimeter (poloobvod): s = 4.37702193258

Uhol ∠ A = α = 38.68221874535° = 38°40'56″ = 0.67551315329 rad
Uhol ∠ B = β = 114.18800611854° = 114°10'48″ = 1.99328180078 rad
Uhol ∠ C = γ = 27.13877513611° = 27°8'16″ = 0.47436431128 rad

Výška trojuholníka: va = 1.82545254266
Výška trojuholníka: vb = 1.25
Výška trojuholníka: vc = 2.5

Ťažnica: ta = 2.85499998244
Ťažnica: tb = 1.32547648854
Ťažnica: tc = 3.27994819715

Polomer vpísanej kružnice: r = 0.57220536691
Polomer opísanej kružnice: R = 2.19223509213

Súradnice vrcholov: A[2; 0] B[0; 0] C[-1.12224989992; 2.5]
Ťažisko: T[0.29325003336; 0.83333333333]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[1; 1.95110004003]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[0.37702193258; 0.57220536691]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 141.31878125465° = 141°19'4″ = 0.67551315329 rad
∠ B' = β' = 65.82199388146° = 65°49'12″ = 1.99328180078 rad
∠ C' = γ' = 152.86222486389° = 152°51'44″ = 0.47436431128 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

1. Zadané vstupné údaje: strana b, c a obsah S.

b = 4 ; ; c = 2 ; ; S = 2.5 ; ; : č. 1

2. Z obsahu S, strany b a strany c vypočítame stranu a - použitím Herónovho vzorca pre obsah a riešením bikvadratickej rovnice:

s = fraction{ a+b+c }{ 2 } ; ; S**2 = s(s-a)(s-b)(s-c) ; ; ; ; s = fraction{ a+4+2 }{ 2 } = fraction{ a+6 }{ 2 } = a/2 + 3 ; ; ; ; S**2 = s(s-a)(s-b)(s-c) ; ; S**2 = ( a/2 + 3) ( a/2 + 3-a) ( a/2 + 3-4) ( a/2 + 3 - 2) ; ; ; ; 2.5**2 = ( a/2 + 3) ( 3-a/2) ( a/2 + (-1)) ( a/2 + 1) ; ; 100 = ( a + 6) ( 6-a) ( a + (-2)) ( a + 2) ; ; ; ; D = b**2 * c**2 - 4 * S**2 = 4**2 * 2**2 - 4 * 2.5**2 = 39 ; ; ; ; D_1 = -2 * sqrt{ D } + b**2 + c**2 = -2 * sqrt{ 39 } + 4**2 + 2**2 = 7.51 ; ; D_2 = 2 * sqrt{ D } + b**2 + c**2 = 2 * sqrt{ 39 } + 4**2 + 2**2 = 32.49 ; ; ; ; a_1 = sqrt{ D_1 } = sqrt{ 7.51 } = 2.74 ; ; a_2 = sqrt{ D_2 } = sqrt{ 32.49 } = 5.7 ; ; : č. 1


Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený. Ďalej preto výpočet je rovnaký a dopočítajú sa ďaľšie jeho vlastnosti - vlastne výpočet trojuholníka zo známych troch strán SSS.

a = 2.74 ; ; b = 4 ; ; c = 2 ; ;

3. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a+b+c = 2.74+4+2 = 8.74 ; ;

4. Polovičný obvod trojuholníka

s = fraction{ o }{ 2 } = fraction{ 8.74 }{ 2 } = 4.37 ; ;

5. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

S = sqrt{ s(s-a)(s-b)(s-c) } ; ; S = sqrt{ 4.37 * (4.37-2.74)(4.37-4)(4.37-2) } ; ; S = sqrt{ 6.25 } = 2.5 ; ;

6. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

S = fraction{ a v _a }{ 2 } ; ; v _a = fraction{ 2 S }{ a } = fraction{ 2 * 2.5 }{ 2.74 } = 1.82 ; ; v _b = fraction{ 2 S }{ b } = fraction{ 2 * 2.5 }{ 4 } = 1.25 ; ; v _c = fraction{ 2 S }{ c } = fraction{ 2 * 2.5 }{ 2 } = 2.5 ; ;

7. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

a**2 = b**2+c**2 - 2bc cos alpha ; ; alpha = arccos( fraction{ b**2+c**2-a**2 }{ 2bc } ) = arccos( fraction{ 4**2+2**2-2.74**2 }{ 2 * 4 * 2 } ) = 38° 40'56" ; ; b**2 = a**2+c**2 - 2ac cos beta ; ; beta = arccos( fraction{ a**2+c**2-b**2 }{ 2ac } ) = arccos( fraction{ 2.74**2+2**2-4**2 }{ 2 * 2.74 * 2 } ) = 114° 10'48" ; ; gamma = 180° - alpha - beta = 180° - 38° 40'56" - 114° 10'48" = 27° 8'16" ; ;

8. Polomer vpísanej kružnice

S = rs ; ; r = fraction{ S }{ s } = fraction{ 2.5 }{ 4.37 } = 0.57 ; ;

9. Polomer opísanej kružnice

R = fraction{ a }{ 2 * sin alpha } = fraction{ 2.74 }{ 2 * sin 38° 40'56" } = 2.19 ; ;

10. Výpočet ťažníc

t_a = fraction{ sqrt{ 2 b**2+2c**2 - a**2 } }{ 2 } = fraction{ sqrt{ 2 * 4**2+2 * 2**2 - 2.74**2 } }{ 2 } = 2.85 ; ; t_b = fraction{ sqrt{ 2 c**2+2a**2 - b**2 } }{ 2 } = fraction{ sqrt{ 2 * 2**2+2 * 2.74**2 - 4**2 } }{ 2 } = 1.325 ; ; t_c = fraction{ sqrt{ 2 b**2+2a**2 - c**2 } }{ 2 } = fraction{ sqrt{ 2 * 4**2+2 * 2.74**2 - 2**2 } }{ 2 } = 3.279 ; ;
Vypočítať ďaľší trojuholník