Polkrát 70014

Matej a Anton sú starí dokopy 44 rokov. Matej je dvakrát taký starý, ako bol Anton v čase, keď bol Matej polkrát taký starý, ako bude Anton, až bude Anton 3x starší, než bol Matej, keď bol Matej 3x taký starý, ako Anton.

Správna odpoveď:

M =  34,5714
A =  9,4286

Postup správneho riešenia:

$$\begin{gathered} M+A=44 \\ M=2\cdot (A-x) \\ (M-x)=0,5\cdot (A+y) \\ (A+y)=3\cdot (M-z) \\ (M-z)=3\cdot A \\ A+M=44 \\ 2A-M-2x=0 \\ 0,5A-M+x+0,5y=0 \\ A-3M+y+3z=0 \\ 3A-M+z=0 \\ Pivot:Riadok1\leftrightarrow Riadok5 \\ 3A-M+z=0 \\ 2A-M-2x=0 \\ 0,5A-M+x+0,5y=0 \\ A-3M+y+3z=0 \\ A+M=44 \\ Riadok2-\frac{2}{3}\cdot Riadok1\to Riadok2 \\ 3A-M+z=0 \\ -0,33333M-2x-0,66667z=0 \\ 0,5A-M+x+0,5y=0 \\ A-3M+y+3z=0 \\ A+M=44 \\ Riadok3-\frac{0,5}{3}\cdot Riadok1\to Riadok3 \\ 3A-M+z=0 \\ -0,33333M-2x-0,66667z=0 \\ -0,83333M+x+0,5y-0,16667z=0 \\ A-3M+y+3z=0 \\ A+M=44 \\ Riadok4-\frac{1}{3}\cdot Riadok1\to Riadok4 \\ 3A-M+z=0 \\ -0,33333M-2x-0,66667z=0 \\ -0,83333M+x+0,5y-0,16667z=0 \\ -2,66667M+y+2,66667z=0 \\ A+M=44 \\ Riadok5-\frac{1}{3}\cdot Riadok1\to Riadok5 \\ 3A-M+z=0 \\ -0,33333M-2x-0,66667z=0 \\ -0,83333M+x+0,5y-0,16667z=0 \\ -2,66667M+y+2,66667z=0 \\ 1,33333M-0,33333z=44 \\ Pivot:Riadok2\leftrightarrow Riadok4 \\ 3A-M+z=0 \\ -2,66667M+y+2,66667z=0 \\ -0,83333M+x+0,5y-0,16667z=0 \\ -0,33333M-2x-0,66667z=0 \\ 1,33333M-0,33333z=44 \\ Riadok3-\frac{-0,83333333}{-2,66666667}\cdot Riadok2\to Riadok3 \\ 3A-M+z=0 \\ -2,66667M+y+2,66667z=0 \\ x+0,1875y-z=0 \\ -0,33333M-2x-0,66667z=0 \\ 1,33333M-0,33333z=44 \\ Riadok4-\frac{-0,33333333}{-2,66666667}\cdot Riadok2\to Riadok4 \\ 3A-M+z=0 \\ -2,66667M+y+2,66667z=0 \\ x+0,1875y-z=0 \\ -2x-0,125y-z=0 \\ 1,33333M-0,33333z=44 \\ Riadok5-\frac{1,33333333}{-2,66666667}\cdot Riadok2\to Riadok5 \\ 3A-M+z=0 \\ -2,66667M+y+2,66667z=0 \\ x+0,1875y-z=0 \\ -2x-0,125y-z=0 \\ 0,5y+z=44 \\ Pivot:Riadok3\leftrightarrow Riadok4 \\ 3A-M+z=0 \\ -2,66667M+y+2,66667z=0 \\ -2x-0,125y-z=0 \\ x+0,1875y-z=0 \\ 0,5y+z=44 \\ Riadok4-\frac{1}{-2}\cdot Riadok3\to Riadok4 \\ 3A-M+z=0 \\ -2,66667M+y+2,66667z=0 \\ -2x-0,125y-z=0 \\ 0,125y-1,5z=0 \\ 0,5y+z=44 \\ Pivot:Riadok4\leftrightarrow Riadok5 \\ 3A-M+z=0 \\ -2,66667M+y+2,66667z=0 \\ -2x-0,125y-z=0 \\ 0,5y+z=44 \\ 0,125y-1,5z=0 \\ Riadok5-\frac{0,125}{0,5}\cdot Riadok4\to Riadok5 \\ 3A-M+z=0 \\ -2,66667M+y+2,66667z=0 \\ -2x-0,125y-z=0 \\ 0,5y+z=44 \\ -1,75z=-11 \\ z=\frac{-11}{-1,75}=6,28571429 \\ y=\frac{44-z}{0,5}=\frac{44-6,28571429}{0,5}=75,42857143 \\ x=\frac{0+0,125y+z}{-2}=\frac{0+0,125\cdot 75,42857143+6,28571429}{-2}=-7,85714286 \\ M=\frac{0-y-2,6666666666667z}{-2,66666667}=\frac{0-75,42857143-2,66666667\cdot 6,28571429}{-2,66666667}=34,57142857 \\ A=\frac{0+M-z}{3}=\frac{0+34,57142857-6,28571429}{3}=9,42857143 \\ A=\frac{66}{7}\doteq 9,428571 \\ M=\frac{242}{7}\doteq 34,571429 \\ x=\frac{-55}{7}\doteq -7,857143 \\ y=\frac{528}{7}\doteq 75,428571 \\ z=\frac{44}{7}\doteq 6,285714 \end{gathered}$$

Skúsiť iný príklad