Vlaky

Do stanice vzdálené 130 km vyjede osobní vlak, za 1,4 hodiny po něm rychlík, který ujede za hodinu o 40 km více, takže dojede do cíle o 9 min dříve.

Vypočítejte průměrné rychlosti obou vlaků.

Správná odpověď:

v₁ =  41,3 km/h
v₂ =  81,3 km/h

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} s=130\text{km} \\ {t}_1=1,4\text{h} \\ \Delta v=40\text{km/h} \\ {t}_2=9\text{min}\to \text{h}=9:60\text{h}=0,15\text{h} \\ \Delta t=t_1+t_2=1,4+0,15=\frac{31}{20}=1,55\text{h} \\ {s}_1=s_2=s \\ {v}_2=\Delta v+v_1 \\ {v}_1\cdot x=v_2\cdot (x-\Delta t)=s \\ {v}_1\cdot x=(\Delta v+v_1)\cdot (x-\Delta t) \\ {v}_1\cdot x=\Delta v\cdot (x-\Delta t)+v_1\cdot (x-\Delta t) \\ 0=\Delta v\cdot (x-\Delta t)-v_1\cdot \Delta t \\ 0=\Delta v\cdot (x-\Delta t)-(s/x)\cdot \Delta t \\ 0=\Delta v\cdot (x-\Delta t)\cdot x-s\cdot \Delta t \\ 0=40\cdot (x-1,55)\cdot x-130\cdot 1,55 \\ -40x^2+62x+201,5=0 \\ 40x^2-62x-201,5=0 \\ a=40;b=-62;c=-201,5 \\ D=b^2-4ac=62^2-4\cdot 40\cdot (-201,5)=36084 \\ D>0 \\ {x}_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{62\pm \sqrt{36084}}{80}=\frac{62\pm 2\sqrt{9021}}{80} \\ {x}_{1,2}=0,775\pm 2,374474 \\ {x}_1=3,149473626 \\ {x}_2=-1,599473626 \\ t=x_1=3,1495\doteq 3,1495\text{h} \\ {v}_1=s/x_1=130/3,1495=41,3\text{km/h} \end{gathered}$$

Výpočet overte naším kalkulátorem kvadratických rovnic.

$$\begin{gathered} v_2=v_1+\Delta v=41,2767+40\doteq 81,2767 \\ \text{ Zkousˇka spraˊvnosti: } \\ {T}_1=s/v_1=130/41,2767\doteq 3,1495\text{h} \\ {T}_2=s/v_2=130/81,2767\doteq 1,5995\text{h} \\ \Delta T=T_1-T_2=3,1495-1,5995=\frac{31}{20}=1,55\text{h} \\ {v}_2=\Delta v=v_2-v_1=81,2767-41,2767=40\text{km/h}=81,3\text{km/h} \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad