Vlaky

Do stanice vzdialenej 130 km vyjde osobný vlak, za 2,7 hodiny po ňom rýchlik, ktorý prejde za hodinu o 32 km viac, takže dôjde do cieľa o 12 min skôr.

Vypočítajte priemerné rýchlosti oboch vlakov.

Správna odpoveď:

v₁ =  25,1 km/h
v₂ =  57,1 km/h

Postup správneho riešenia:

$$\begin{gathered} s=130\text{km} \\ {t}_1=2,7\text{h} \\ \Delta v=32\text{km/h} \\ {t}_2=12\text{min}\to \text{h}=12:60\text{h}=0,2\text{h} \\ \Delta t=t_1+t_2=2,7+0,2=\frac{29}{10}=2,9\text{h} \\ {s}_1=s_2=s \\ {v}_2=\Delta v+v_1 \\ {v}_1\cdot x=v_2\cdot (x-\Delta t)=s \\ {v}_1\cdot x=(\Delta v+v_1)\cdot (x-\Delta t) \\ {v}_1\cdot x=\Delta v\cdot (x-\Delta t)+v_1\cdot (x-\Delta t) \\ 0=\Delta v\cdot (x-\Delta t)-v_1\cdot \Delta t \\ 0=\Delta v\cdot (x-\Delta t)-(s/x)\cdot \Delta t \\ 0=\Delta v\cdot (x-\Delta t)\cdot x-s\cdot \Delta t \\ 0=32\cdot (x-2,9)\cdot x-130\cdot 2,9 \\ -32x^2+92,8x+377=0 \\ 32x^2-92,8x-377=0 \\ a=32;b=-92,8;c=-377 \\ D=b^2-4ac=92,8^2-4\cdot 32\cdot (-377)=56867,84 \\ D>0 \\ {x}_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{92,8\pm \sqrt{56867,84}}{64} \\ {x}_{1,2}=1,45\pm 3,72609 \\ {x}_1=5,176090444 \\ {x}_2=-2,276090444 \\ t=x_1=5,1761\doteq 5,1761\text{h} \\ {v}_1=s/x_1=130/5,1761=25,1\text{km/h} \end{gathered}$$

Výpočet overte naším kalkulátorom kvadratických rovníc .

$$\begin{gathered} v_2=v_1+\Delta v=25,1155+32\doteq 57,1155\text{km/h} \\ \text{ Skuˊsˇka spraˊvnosti: } \\ {T}_1=s/v_1=130/25,1155\doteq 5,1761\text{h} \\ {T}_2=s/v_2=130/57,1155\doteq 2,2761\text{h} \\ \Delta T=T_1-T_2=5,1761-2,2761=\frac{29}{10}=2,9\text{h} \\ \Delta v=v_2-v_1=57,1155-25,1155=32\text{km/h} \end{gathered}$$

Skúsiť iný príklad