Cukr - kvádr

Pejko dostal od svého pána kvádr složený z navzájem stejných kostek cukru, kterých bylo nejméně 1000 a nejvíce 2000. Pejko kostky cukru odjeda po jednotlivých vrstvách-první den odjedu jednu vrstvu zepředu, druhý den jednu vrstvu zprava a třetí den jednu vrstvu shora. Přitom v těchto třech vrstvách byl pokaždé stejný počet kostek. Zjistěte, kolik kostek mohl mít darovaný kvádr. Určete všechny možnosti.

Správná odpověď:

V₁ =  1320
V₂ =  1716

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} 1320=11\cdot 10\cdot 12 \\ 11\cdot 10=10\cdot (12-1)=(11-1)\cdot (12-1)=110 \\ 1716=12\cdot 11\cdot 13 \\ 12\cdot 11=11\cdot (13-1)=(12-1)\cdot (13-1)=132 \end{gathered}$$

PHP program:

for($a=1; $a<1000; $a++)
{
    for($b=1; $b<1000; $b++)
    {
        for($c=1; $c<1000; $c++)
        {
            $V = $a*$b*$c;
            if($V > 2000 || $V<1000)
            {
                continue;
            }

            if($a*$b == ($c-1)*$b && ($c-1)*$b == ($a-1)*($c-1))
            {
                echo "$V = $a * $b * $c <br>";
            }
        }
    }
}

Zkusit jiný příklad