Parabolická

a) Pa = 384/5*pi = cca 241,27 cm³
b) Pb = 12*pi = cca 37,70 cm³

b - nie 16 pi ?

Va = pi*integrate (sqrt(2/3*x)² dx from x=0 to 6
Vb = pi*integrate (-6/4*x²+6)² dx from x=-2 to 2

Je to podivně zadané

Objem paraboloidu, bude 48 pi, pro kontrolu lze dvěma způsoby buď kolem osy Y z funkce I (2*pi * x * 3/8 * x² dx od nuly do 4) nebo z inverzní funkce I (pi * ((8/3*x)^.5)² dx  od nuly do 6. Co je nejvíce pozoruhodné, že to bude přesně polovina objemu válce, který má takto pi * 4² * 6 = 96 pi.

Co se týče druhého zadání, tak není zcela jasné, co má rotovat, zda kolem celé základny oblouk paraboly, či jen část. Tedy jen část oblouku paraboly, co je pod z úsečkou b nebo obě části paraboly pod úsečkou 2*b.V podstatě stačí počítat rotaci oblouku paraboly jen části pod úsečkou b, pokud by to mělo jako být pod jejím dvojnásobkem, bude podobně vzhledem k symetrii objem dvojnásobný.Čili můžeme nechat tedy rotovat část oblouku paraboly upravené na tvar y=3/8*x²-6 kolem osy x, pak to bude integral v mezích (0,4) z pi* (3/8*x²-6)² dx = 384/5 pi.
Nebo funkci upravit, aby rotovala kolem osy y, pak bude mít tvar y=(8/3*(6-x))^.5 a pak bude mít integrál tvar : v mezích od 0 do 6 z funkce 2pi * x * (8/3*(6-x))^.5 dx a vyjde opět objem 384/5 * pi (musí se v absolutní hodnotě). Válec, ve kterém je tento objem obsažen má objem pi * 6²*4 = 144pi, co je zajímavé je, že objem bude téměř polovina objemu válce, ale nikoliv přesně, ale nepatrně méně. Pokud by tedy rotoval kolem základny 2 * b, bude příslušný oblouk v prostoru vymezovat dvojnásobný objem v příslušném také dvojnásobné válci.