Parabolická

Parabolická úseč má základnu a= 4 cm a výšku v= 6 cm. Vypočítejte objem tělesa, které vznikne rotací této úseče

a) kolem své základny
b) kolem své osy.

Předem děkuji za řešení.

Výsledek

V1 =  0 cm3
V2 =  50.265 cm3

Řešení:

a=4 cm v=6 cm f(x)=qx2 f(a/2)=q(a/2)2=v 6=q 22  V1=q=6/22=32=1.5=0 cm3a = 4 \ cm \ \\ v = 6 \ cm \ \\ f(x) = q x^2 \ \\ f(a/2) = q (a/2)^2 = v \ \\ 6 = q \cdot \ 2^2 \ \\ \ \\ V_{1}=q = 6/2^2 = \dfrac{ 3 }{ 2 } = 1.5 = 0 \ cm^3
f(x)=v64x2 f(x)=664x2  x0=a/2=4/2=2 x1=a/2=4/2=2  V2=π {x0}{x1}f(x)dx V2=π {x0}{x1}(64x2v)dx V2=π [64 x3/3vx]{x0}{x1}  F(x)=6x64 x3/3 F1=6 x164 x13/3=6 264 23/3=8 F0=6 x064 x03/3=6 (2)64 (2)3/3=8  V2=π (F1F0)=3.1416 (8(8))50.2655=50.265 cm3f(x) = v - \dfrac{ 6 }{ 4 } x^2 \ \\ f(x) = 6 - \dfrac{ 6 }{ 4 } x^2 \ \\ \ \\ x_{ 0 } = -a/2 = -4/2 = -2 \ \\ x_{ 1 } = a/2 = 4/2 = 2 \ \\ \ \\ V_{ 2 } = \pi \cdot \ \int_\{ x_{ 0 } \}^\{x_{ 1 }\} f(x) dx \ \\ V_{ 2 } = \pi \cdot \ \int_\{x_{ 0 }\}^\{x_{ 1 }\} (\dfrac{ 6 }{ 4 } x^2 - v) dx \ \\ V_{ 2 } = \pi \cdot \ [\dfrac{ 6 }{ 4 } \cdot \ x^3/3 - vx]_\{x_{ 0 }\}^\{x_{ 1 }\} \ \\ \ \\ F(x) = 6x - \dfrac{ 6 }{ 4 } \cdot \ x^3/3 \ \\ F_{ 1 } = 6 \cdot \ x_{ 1 } - \dfrac{ 6 }{ 4 } \cdot \ x_{ 1 }^3/3 = 6 \cdot \ 2 - \dfrac{ 6 }{ 4 } \cdot \ 2^3/3 = 8 \ \\ F_{ 0 } = 6 \cdot \ x_{ 0 } - \dfrac{ 6 }{ 4 } \cdot \ x_{ 0 }^3/3 = 6 \cdot \ (-2) - \dfrac{ 6 }{ 4 } \cdot \ (-2)^3/3 = -8 \ \\ \ \\ V_{ 2 } = \pi \cdot \ (F_{ 1 } - F_{ 0 }) = 3.1416 \cdot \ (8 - (-8)) \doteq 50.2655 = 50.265 \ cm^3



Naše příklady z velké míry nám poslali nebo vytvořili samotní žáci a studenti. Proto budeme velmi rádi, pokud případně chyby které jste našli, pravopisné chyby nebo přeformulování příkladu nám prosím pošlete. Děkujeme!





Napište nám komentář ke příkladu (úlohe) a jeho řešení (například pokud je stále něco nejasné nebo máte jiné řešení, nebo příklad nevíte vypočítat, nebo-li řešení je nesprávné...):

Zobrazuji 6 komentářů:
#
Žák
a) Pa = 384/5*pi = cca 241,27 cm3
b) Pb = 12*pi = cca 37,70 cm3

#
Matematik
b - nie 16 pi ?

#
Žák
Va = pi*integrate (sqrt(2/3*x)2 dx from x=0 to 6
Vb = pi*integrate (-6/4*x2+6)2 dx from x=-2 to 2

#
Aztli
Je to podivně zadané

#
Aztli
Objem paraboloidu, bude 48 pi, pro kontrolu lze dvěma způsoby buď kolem osy Y z funkce I (2*pi * x * 3/8 * x2 dx od nuly do 4) nebo z inverzní funkce I (pi * ((8/3*x).5)2 dx  od nuly do 6. Co je nejvíce pozoruhodné, že to bude přesně polovina objemu válce, který má takto pi * 42 * 6 = 96 pi.

#
Aztli
Co se týče druhého zadání, tak není zcela jasné, co má rotovat, zda kolem celé základny oblouk paraboly, či jen část. Tedy jen část oblouku paraboly, co je pod z úsečkou b nebo obě části paraboly pod úsečkou 2*b.V podstatě stačí počítat rotaci oblouku paraboly jen části pod úsečkou b, pokud by to mělo jako být pod jejím dvojnásobkem, bude podobně vzhledem k symetrii objem dvojnásobný.Čili můžeme nechat tedy rotovat část oblouku paraboly upravené na tvar y=3/8*x2-6 kolem osy x, pak to bude integral v mezích (0,4) z pi* (3/8*x2-6)2 dx = 384/5 pi.
Nebo funkci upravit, aby rotovala kolem osy y, pak bude mít tvar y=(8/3*(6-x)).5 a pak bude mít integrál tvar : v mezích od 0 do 6 z funkce 2pi * x * (8/3*(6-x)).5 dx a vyjde opět objem 384/5 * pi (musí se v absolutní hodnotě). Válec, ve kterém je tento objem obsažen má objem pi * 62*4 = 144pi, co je zajímavé je, že objem bude téměř polovina objemu válce, ale nikoliv přesně, ale nepatrně méně. Pokud by tedy rotoval kolem základny 2 * b, bude příslušný oblouk v prostoru vymezovat dvojnásobný objem v příslušném také dvojnásobné válci.

avatar









Další podobné příklady a úkoly:

  1. Lichobežník - základny
    lichobeznik3 V lichoběžníku je rozdíl základem 6 cm. Vypočítejte délky základem lichoběžníka, když jeho výška je 8 cm a obsah lichoběžníka je 168 cm čtverečních?
  2. Obdélník
    squares2_3 Vypočítejte obsah obdélníku, pokud jeho délka je o 12 cm delší než jeho šířka, a zároveň jeho délka se rovná druhé mocnině jeho šířky.
  3. Velikost zahrady
    garden Farmář koupil za plot 600 m drátu. Chce ho použít k obehnání obdélníkové zahrady o ploše 16875 m2. Vypočítejte velikost zahrady.
  4. Kvadr. funcke
    parabola1 Které z bodů patří funkcí f:y= 2x2- 3x + 1 : A(-2, 15) B (3,10) C (1,4)
  5. Převrácená hodnota 4
    fx Jak vypočítám číslo x, které je o 9 větší než jeho převrácená hodnota (1/x)?
  6. Výraz - funkce
    parabola2_1 Ak k(x+6)= 4x2 + 20, čemu se rovná k(10)?
  7. Asymptota
    asymptote Určite vertikálnu asymptotu funkcie ?.
  8. Rozměr 2
    zahrada_5 Jak závisí jeden rozměr obdélníkové zahrady na druhém, jestliže zahrada má výměru 500 m2?
  9. Nákladní auta
    bricks Na stavbu vozili cihly ve třech nákladních autech. Jedno odvezlo najednou n cihel, druhé o m cihel méně než první a na třetí se vešlo o 300 cihel více než na první auto. První auto šlo 4krát denně, největší auto šlo 3krát denně a nejmenší 5krát denně. Ko
  10. Souměrnost dle roviny
    roviny Určete obraz bodu A (3, -4, -6) v souměrnosti, která je určena rovinou x-y-4z-13 = 0
  11. Patří - leží
    parabola_2 Napište rovnici kvadratické funkce níž patří body A (-1, 10), B (2, 19), C (1,4)
  12. Zo 6 na 3
    thales_1 Chceme dokázat sporem tvrzení: Pokud je přirozené číslo n rozdělitelné šesti, potom n je dělitelné třemi. Z jakého předpokladu budeme vycházet?
  13. GP - 10 členů
    sequence_geo_8 Geometrická posloupnost má 10 členů. Poslední dva členy jsou 2 a -1. Kolikátý člen je -1/16?
  14. Třetí člen
    seq_6 Určete třetí člen AP, pokud a4 = 93, d = 7,5.
  15. AP vloženie
    series_1 Mezi čísla 8 a 20 vložte tolik členů aritmetické posloupnosti, aby jejich součet byl 196.
  16. Lichoběžník
    lichobeznik_mo_z8_2 Délky rovnoběžných stran lichoběžníku jsou (2x + 3) a (x + 8) a vzdálenost mezi nimi je (x + 4). Pokud je plocha lichoběžníku je 590, najděte hodnotu x.
  17. Doplnění na čtverec
    eq2_5 Vyřešte kvadratickou rovnici: m2 = 4m + 20 pomocí metody doplnění na čtverec nebo doplnění do čtverce.