Parabolický úsek

Parabolický úsek má základňu a = 4 cm a výšku v = 6 cm. Vypočítajte objem telesa, ktoré vznikne rotáciou tejto úseče
a) okolo svojej základne
b) okolo svojej osi.

Vopred ďakujem za riešenie.

Správna odpoveď:

V₁ = 51,2 cm³
V₂ = 50,2655 cm³

Postup správneho riešenia:

a = 4 cm v = 6 cm f (x) = q x^{2} f (a / 2) = q (a / 2)^{2} = v 6 = q \cdot 2^{2} q = 6 / 2^{2} = \frac{3}{2} = 1, 5 V_{1} = \frac{8}{1 5} \cdot v \cdot a^{2} = \frac{8}{1 5} \cdot 6 \cdot 4^{2} = \frac{2 5 6}{5} cm^{3} = 51, 2 cm^{3}

f (x) = v - \frac{6}{4} x^{2} f (x) = 6 - \frac{6}{4} x^{2} x_{0} = - a / 2 = - 4 / 2 = - 2 x_{1} = a / 2 = 4 / 2 = 2 V_{2} = π \cdot \int_{{} x_{0}}^{{} x_{1}} f (x) d_{x} V_{2} = π \cdot \int_{{} x_{0}}^{{} x_{1}} (\frac{6}{4} x^{2} - v) d_{x} V_{2} = π \cdot [\frac{6}{4} \cdot x^{3} / 3 - v_{x}]_{{} x_{0}}^{{} x_{1}} F (x) = 6 x - \frac{6}{4} \cdot x^{3} / 3 F_{1} = 6 \cdot x_{1} - \frac{6}{4} \cdot x_{1}^{3} / 3 = 6 \cdot 2 - \frac{6}{4} \cdot 2^{3} / 3 = 8 F_{0} = 6 \cdot x_{0} - \frac{6}{4} \cdot x_{0}^{3} / 3 = 6 \cdot (- 2) - \frac{6}{4} \cdot (- 2)^{3} / 3 = - 8 V_{2} = π \cdot (F_{1} - F_{0}) = 3, 1416 \cdot (8 - (- 8)) = 50, 2655 cm^{3}

Našiel si chybu či nepresnosť? Kľudne nám ju napíš.

Zobrazujem 1 komentár:

Miro

Treba určiť čo je r a čo v. (Ak na Vašom obr. a=¸V; b=R)
V=(1/2)*PI()*R*R*V , ak rotujeme okolo V (P=(2/3)*R*V)
Podľa Guldinovej vety Objem=plocha ktorú rotujeme*dráha ťažiska.
Ťažisko je od vrcholu a teda aj od osi rotácie 3/8R, jeho dráha je 2*pi()*(3/8)*R, a objem je uvedených (1/2)*PI()*R*R*V. Po dosadení V=(1/2)*R*R*V=150,796447cm³
Ak rotujeme okolo R, ťažisko od vrcholu je (3/5)*V, od osi rotácie teda (2/5)*V.
Po dosadení V=(8/15)*R*V*V=241,274316cm³

2 roky Like