Radiolokátor

Letadlo vyletělo z letiště L, letí přímým směrem v konstantní výšce a je sledováno dvěma radiolokátory umístěnými tak, že jejich stanoviště A, B a letiště L leží v přímce. Při prvním měření bylo letadlo ze stanoviště A zaregistrováno pod výškovým úhlem 87° a současně ze stanoviště B pod výškovým úhlem 42°. Při druhém měření byl na stanovišti A zjištěn výškový úhel 53° a na stanovišti B výškový úhel 81°. Určete vzdálenost, kterou letadlo uletělo mezi oběma měřeními, je-li vzdálenost stanovišť A, B rovna 6000 m.

Správná odpověď:

d =  4898,03 m

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} a=6000\text{m} \\ {\alpha }_1=87{}^{\circ } \\ {\beta }_1=42{}^{\circ } \\ {\alpha }_2=53{}^{\circ } \\ {\beta }_2=81{}^{\circ } \\ {h}_3=3000\text{m} \\ \mathrm{tg}{\alpha }_1=h:x_1 \\ \mathrm{tg}{\beta }_1=h:x_2 \\ {x}_1+x_2=a \\ \mathrm{tg}{\alpha }_2=h:x_3 \\ \mathrm{tg}{\beta }_2=h:x_4 \\ {x}_3+x_4=a \\ h/\mathrm{tg}{\alpha }_1+h/\mathrm{tg}{\beta }_1=a \\ {h}_1=\frac{a}{1/\mathrm{tg}{\alpha }_1+1/\mathrm{tg}{\beta }_1}=\frac{a}{1/\mathrm{tg}87°+1/\mathrm{tg}42°}=\frac{6000}{1/\mathrm{tg}87°+1/\mathrm{tg}42°}=\frac{6000}{1/19,081137+1/0,900404}=5158,98134\text{m} \\ {h}_2=\frac{a}{1/\mathrm{tg}{\alpha }_2+1/\mathrm{tg}{\beta }_2}=\frac{a}{1/\mathrm{tg}53°+1/\mathrm{tg}81°}=\frac{6000}{1/\mathrm{tg}53°+1/\mathrm{tg}81°}=\frac{6000}{1/1,327045+1/6,313752}=6579,39111\text{m} \\ {x}_1=\frac{h_1}{\mathrm{tg}{\alpha }_1}=\frac{h_1}{\mathrm{tg}87°}=\frac{5158,9813}{\mathrm{tg}87°}=\frac{5158,9813}{19,081137}=270,37076\text{m} \\ {x}_3=\frac{h_2}{\mathrm{tg}{\alpha }_2}=\frac{h_2}{\mathrm{tg}53°}=\frac{6579,3911}{\mathrm{tg}53°}=\frac{6579,3911}{1,327045}=4957,92682\text{m} \\ A=(x_1,h_1) \\ B=(x_3,h_2) \\ d=dist(A,B)=|AB|=\sqrt{(A_x-B_x{)}^2+(A_y-B_y{)}^2}=\sqrt{(270,3708-4957,9268{)}^2+(5158,9813-6579,3911{)}^2}=4898,03\text{m} \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad