Katka MO
Katka narýsovala trojúhelník ABC. Střed strany AB si označila jako X a střed strany AC jako Y . Na straně BC chce najít takový bod Z, aby obsah čtyřúhelníku AXZY byl co největší. Jakou část trojúhelníku ABC může maximálně zabírat čtyřúhelník AXZY ?
Vaše odpověď:
Vaše odpověď:
Zobrazuji 1 komentář:
Petr
Nápověda. Určete, jakou část trojúhelníku ABC zabírá trojúhelník AXY.
Ze zadání plyne, že úsečka XY je střední příčkou trojúhelníku ABC, která je rovnoběžná se stranou BC. Její délka je tedy poloviční vzhledem k délce strany BC a velikost výšky z bodu A na XY je taktéž poloviční vzhledem k velikosti výšky z téhož bodu na BC. To znamená, že trojúhelník AXY má čtvrtinový obsah vzhledem k obsahu trojúhelníku ABC.
Nyní zvolme bod Z na straně BC. Protože úsečky BC a XY jsou rovnoběžné, je obsah trojúhelníku XY Z, tedy i čtyřúhelníku XZY stejný pro jakkoli zvolený bod Z. Protože vzdálenost rovnoběžek BC a XY je stejná jako vzdálenost XY od vrcholu A, mají trojúhelníky AXY a XY Z tutéž velikost výšky na jejich společnou stranu XY , a proto mají tentýž obsah. Každý z těchto dvou trojúhelníků zabírá čtvrtinu trojúhelníku ABC, čtyřúhelník AXZY proto zabírá polovinu trojúhelníku ABC.
autor: A. Bohiniková
Ze zadání plyne, že úsečka XY je střední příčkou trojúhelníku ABC, která je rovnoběžná se stranou BC. Její délka je tedy poloviční vzhledem k délce strany BC a velikost výšky z bodu A na XY je taktéž poloviční vzhledem k velikosti výšky z téhož bodu na BC. To znamená, že trojúhelník AXY má čtvrtinový obsah vzhledem k obsahu trojúhelníku ABC.
Nyní zvolme bod Z na straně BC. Protože úsečky BC a XY jsou rovnoběžné, je obsah trojúhelníku XY Z, tedy i čtyřúhelníku XZY stejný pro jakkoli zvolený bod Z. Protože vzdálenost rovnoběžek BC a XY je stejná jako vzdálenost XY od vrcholu A, mají trojúhelníky AXY a XY Z tutéž velikost výšky na jejich společnou stranu XY , a proto mají tentýž obsah. Každý z těchto dvou trojúhelníků zabírá čtvrtinu trojúhelníku ABC, čtyřúhelník AXZY proto zabírá polovinu trojúhelníku ABC.
autor: A. Bohiniková
6 let 1 Like
Tipy na související online kalkulačky
Vyzkoušejte také naši trigonometrickou trojúhelníkovou kalkulačku.
K vyřešení této úlohy jsou potřebné tyto znalosti z matematiky:
Doporučujeme k tomuto príkladu si prohlédnout toto výukové video: video1
