Katka MO
Katka narysovala trojuholník ABC. Stred strany AB si označila ako X a stred strany AC ako Y. Na strane BC chce nájsť taký bod Z, aby obsah štvoruholníka AXZY bol čo najväčší. Akú časť trojuholníka ABC môže maximálne zaberať štvoruholník AXZY?
Vaša odpoveď:
Vaša odpoveď:
Zobrazujem 2 komentáre:
Mo-1
Nápoveda. Určite, akú časť trojuholníka ABC zaberá trojuholník AXY.
Zo zadania vyplýva, že úsečka XY je strednou priečkou trojuholníka ABC, ktorá je rovnobežná so stranou BC. Jej dĺžka je teda polovičná vzhľadom k dĺžke strany BC a veľkosť výšky z A na XY je taktiež polovičná vzhľadom k veľkosti výšky z toho istého bodu na BC. To znamená, že trojuholník AXY má štvrtinový obsah vzhľadom na obsah trojuholníka ABC.
Teraz zvoľme bod Z na strane BC. Pretože úsečky BC a XY sú rovnobežné, je obsah trojuholníka XY Z, teda aj štvoruholníku XZY rovnaký pre akokoľvek zvolený bod Z. pretože vzdialenosť rovnobežiek BC a XY je rovnaká ako vzdialenosť XY od vrcholu A, majú trojuholníky AXY a XY Z tú istú veľkosť výšky na ich spoločnú stranu XY, a preto majú rovnaký obsah. Každý z týchto dvoch trojuholníkov zaberá štvrtinu trojuholníka ABC, štvoruholník AXZY preto zaberá polovicu trojuholníka ABC.
Zo zadania vyplýva, že úsečka XY je strednou priečkou trojuholníka ABC, ktorá je rovnobežná so stranou BC. Jej dĺžka je teda polovičná vzhľadom k dĺžke strany BC a veľkosť výšky z A na XY je taktiež polovičná vzhľadom k veľkosti výšky z toho istého bodu na BC. To znamená, že trojuholník AXY má štvrtinový obsah vzhľadom na obsah trojuholníka ABC.
Teraz zvoľme bod Z na strane BC. Pretože úsečky BC a XY sú rovnobežné, je obsah trojuholníka XY Z, teda aj štvoruholníku XZY rovnaký pre akokoľvek zvolený bod Z. pretože vzdialenosť rovnobežiek BC a XY je rovnaká ako vzdialenosť XY od vrcholu A, majú trojuholníky AXY a XY Z tú istú veľkosť výšky na ich spoločnú stranu XY, a preto majú rovnaký obsah. Každý z týchto dvoch trojuholníkov zaberá štvrtinu trojuholníka ABC, štvoruholník AXZY preto zaberá polovicu trojuholníka ABC.
Tipy na súvisiace online kalkulačky
Pozrite aj našu trigonometrickú trojuholníkovu kalkulačku.
Na vyriešenie tejto úlohy sú potrebné tieto znalosti z matematiky:
Odporúčame k tejto úlohe z matematiky si pozrieť toto výukové video: video1
