C–I–4 MO 2017
Určete největší celé číslo n, při kterém lze čtvercovou tabulku n×n zaplnit přirozenými čísly od 1 do n2 (n na druhou) tak, aby v každé její čtvercové části 3×3 byla zapsána aspoň jedna druhá mocnina celého čísla.
Správná odpověď:
Zobrazuji 7 komentářů:
Dr Math
Návodné úlohy:
1. Najděte všechna přirozená čísla n, pro která lze čtvercovou tabulku n × n zaplnit přirozenými čísly od 1 do n
2 tak, aby v každém řádku i v každém sloupci byla zapsána alespoň jedna druhá mocnina celého čísla. [Jde to pro každé n — čtverce 12, 2
2
, . . . , n2
zapíšeme na úhlopříčku.]
2. Určete největší celé číslo n, při kterém je možné čtvercovou tabulku n × n zaplnit přirozenými čísly od 1 do n2
tak, aby v každé její čtvercové části 2 × 2 byla zapsána alespoň jedna druhá mocnina celého čísla. [n = 5]
D1. Do čtvercové tabulky 11×11 jsme vepsali přirozená čísla 1, 2, . . . , 121 postupně po řádcích zleva doprava a shora dolů. Čtvercovou destičkou 4 × 4 jsme všemi možnými způsoby zakryli právě 16 políček. Kolikrát byl součet zakrytých čísel
druhou mocninou celého čísla? [65–B–I–2]
D2. Čtvercovou tabulku 6 × 6 zaplníme všemi celými čísly od 1 do 36.
a) Uveďte příklad takového zaplnění tabulky, že součet každých dvou čísel ve stejném řádku nebo sloupci je větší než 11.
b) Ukažte, že při libovolném zaplnění tabulky se v některém řádku nebo sloupci najdou dvě čísla, jejichž součet nepřevyšuje 12. [66–C–II–2]
1. Najděte všechna přirozená čísla n, pro která lze čtvercovou tabulku n × n zaplnit přirozenými čísly od 1 do n
2 tak, aby v každém řádku i v každém sloupci byla zapsána alespoň jedna druhá mocnina celého čísla. [Jde to pro každé n — čtverce 12, 2
2
, . . . , n2
zapíšeme na úhlopříčku.]
2. Určete největší celé číslo n, při kterém je možné čtvercovou tabulku n × n zaplnit přirozenými čísly od 1 do n2
tak, aby v každé její čtvercové části 2 × 2 byla zapsána alespoň jedna druhá mocnina celého čísla. [n = 5]
D1. Do čtvercové tabulky 11×11 jsme vepsali přirozená čísla 1, 2, . . . , 121 postupně po řádcích zleva doprava a shora dolů. Čtvercovou destičkou 4 × 4 jsme všemi možnými způsoby zakryli právě 16 políček. Kolikrát byl součet zakrytých čísel
druhou mocninou celého čísla? [65–B–I–2]
D2. Čtvercovou tabulku 6 × 6 zaplníme všemi celými čísly od 1 do 36.
a) Uveďte příklad takového zaplnění tabulky, že součet každých dvou čísel ve stejném řádku nebo sloupci je větší než 11.
b) Ukažte, že při libovolném zaplnění tabulky se v některém řádku nebo sloupci najdou dvě čísla, jejichž součet nepřevyšuje 12. [66–C–II–2]
Dr Math
takze ale uloha neznela minmalni cislo ale "největší celé číslo".... ci 0 alebo 3, vsechno nespravne...
K vyřešení této úlohy jsou potřebné tyto znalosti z matematiky:
aritmetikaplanimetriezákladní operace a pojmyčíslatémaÚroveň náročnosti úkolu
Související a podobné příklady:
- Přirozené 55591
Pokud n je přirozené číslo, které dává při dělení 5 zbytek 2 nebo 3, tak n na druhou dává při dělení 5 zbytek 4. Dokažte přímo - Dvoučleny
K dvojčlenu 121x²+88x přidejte takové číslo, aby vzniklý tříčlen byl druhou mocninou dvoučlenu. - Kvadratická rovnice kořeny
V rovnici 3x²+bx+c=0 je jeden kořen x1 = -3/2. Určete číslo c tak, aby číslo 4 bylo kořenem rovnice. Nápověda - použijte Vietovy vzorce. - Vnučka
V roce 2014 byl součet věku Mecháčovy tety, její dcery a její vnučky roven 100 let. V kterém roce se narodila vnučka, pokud víme, že věk každé z nich lze vyjádřit jako mocnina dvou? - Nezkrotného 7961
U nezkrotného divočáka měli před bitvou třicet stolů označených přirozenými čísly 2 až 31. Právě dva stoly patřily do salonku. Aby personál při inventuře zjistil, které dva to jsou, používal trik. Na dveřích salonku byla tabulka s číslem, které nebylo děl - Elektrický 83169
Učeň dostal od mistra za úkol rozdělit elektrický kabel délky 28m na dvě části tak, aby druhá část byla 2,5krát větší než první část. Jak dlouhé měly být části kabelu? - Mimozemská loď
Mimozemská loď má tvar koule o poloměru r = 3000m a její posádka potřebuje lodí odvézt nasbíraný výzkumný materiál v boxu ve tvaru kvádru se čtvercovou podstavou. Určete délku podstavy a (a výšku h) tak, aby měl box největší možný objem.
