Počet trojúhelníků

Je dán čtverec ABCD a na každé jeho straně 4 vnitřních bodů.

Určete počet všech trojúhelníků s vrcholy v těchto bodech.

Správná odpověď:

x =  544

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} C_3(16)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{16}{3}\right)=\frac{16!}{3!(16-3)!}=\frac{16\cdot 15\cdot 14}{3\cdot 2\cdot 1}=560 \\ n=4 \\ {C}_3(4)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)=\frac{4!}{3!(4-3)!}=\frac{4}{1}=4 \\ x=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4\cdot n}{3}\right)-4\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{3}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4\cdot 4}{3}\right)-4\cdot 4=544 \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad