V krabici 5

V krabici tvaru kvádru jsou ve čtyřech vrstvách uloženy čtyři druhy krychlí. V první vrstvě jsou krychle s hranou délky 12 cm. V každé následující vrstvě je délka hrany krychle o 2 cm menší než délka hrany krychle v předcházející vrstvě. Za předpokladu, že mezi stěnami krabice a krychlemi i mezi krychlemi navzájem nejsou žádné mezery, vypočítejte:
1. jaké jsou nejmenší možné vnitřní rozměry krabice
2. kolik krychlí jednotlivých druhů je v této nejmenší možné krabici

Správná odpověď:

a =  120 cm
b =  120 cm
c =  36 cm
n₁ =  100
n₂ =  144
n₃ =  225
n₄ =  400

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} x_1=12\text{cm} \\ {x}_2=x_1-2=12-2=10\text{cm} \\ {x}_3=x_2-2=10-2=8\text{cm} \\ {x}_4=x_3-2=8-2=6\text{cm} \\ 12=2^2\cdot 3 \\ 10=2\cdot 5 \\ 8=2^3 \\ 6=2\cdot 3 \\ NSN(12,10,8,6)=2^3\cdot 3\cdot 5=120 \\ a=NSN(x_1,x_2,x_3,x_4)=NSN(12,10,8,6)\text{cm}=120\text{cm} \end{gathered}$$

$b=a=120=120\text{cm}$

$c=x_1+x_2+x_3+x_4=12+10+8+6=36\text{cm}$

$n_1={\frac{a}{x_1}}^2={\frac{120}{12}}^2=100$

$n_2={\frac{a}{x_2}}^2={\frac{120}{10}}^2=144$

$n_3={\frac{a}{x_3}}^2={\frac{120}{8}}^2=225$

$n_4={\frac{a}{x_4}}^2={\frac{120}{6}}^2=400$

Zkusit jiný příklad