GP - volná

Pro geometrickou posloupnost platí zajímavý vztah mezi prvním a třetím členem:

a1-a3=-1,5
a3-a1=1,5

Vypočítejte kvocient q a první člen a1.

Správná odpověď:

q =  2
a₁ =  0,5

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} a_1-a_3=-1,5 \\ {a}_3-a_1=1,5 \\ {a}_2=q{a}_1 \\ {a}_3=q{a}_2=q^2{a}_1 \\ {a}_1-q^2{a}_1=-1,5 \\ {q}^2{a}_1-a_1=1,5 \\ {a}_1(1-q^2)=-1,5 \\ {a}_1(q^2-1)=1,5 \\ q=2 \\ {a}_1=\frac{1,5}{q^2-1}=\frac{1,5}{2^2-1}=\frac{1}{2}=0,5 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} a_1=0,5=\frac{1}{2} \\ \text{ Zkousˇka spraˊvnosti: } \\ {a}_2=q\cdot a_1=2\cdot 0,5=1 \\ {a}_3=q\cdot a_2=2\cdot 1=2 \\ {t}_1=a_1-a_3=0,5-2=-\frac{3}{2}=-1\frac{1}{2}=-1,5 \\ {t}_2=a_3-a_1=2-0,5=\frac{3}{2}=1\frac{1}{2}=1,5 \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad