Geometrická posloupnost 3

V geometrické posloupnosti je a₄ = 128; a₉= 131072; s_n=699050. Vypočtěte první člen a₁, kvocient q a počet členů n z jejich součtu.

Správná odpověď:

a₁ =  2
q =  4
n =  10

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} a_4=a_1{q}^3=128 \\ {a}_9=a_1{q}^8=131072 \\ \frac{128}{131072}=\frac{q^3}{q^8} \\ 0,0009765625=q^{-5} \\ 0,0009765625^{-0.2}=q \\ q=4 \\ {a}_4=a_1{q}^3=a_1\cdot 4^3=128 \\ {a}_1=\frac{128}{4^3}=2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} {s}_n=699050=a_1\frac{q^n-1}{q-1}=\frac{4^n-1}{4-1} \\ 1048575=4^n-1 \\ 1048576=4^n \\ \ln 1048576=n\ln 4 \\ n=\frac{\ln 1048576}{\ln 4} \\ n=10 \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad