MO B 2019 ukol 2

Přirozené číslo n má aspoň 73 dvojmístných dělitelů. Dokažte, že jedním z nich je číslo 60. Uveďte rovněž příklad čísla n, které má právě 73 dvojmístných dělitelů, včetně náležitého zdůvodnění.

Výsledek

n₁ = (Správná odpověď je: 11 * 12 * 13 * 14 * 16 * 17 * 18 * 19 * 21 * 22 * 23 * 24 * 26 * 27 * 28 * 29 * 31 * 32 * 33 * 34 * 36 * 37 * 38 * 39 * 41 * 42 * 43 * 44 * 46 * 47 * 48 * 49 * 51 * 52 * 53 * 54 * 56 * 57 * 58 * 59 * 61 * 62 * 63 * 64 * 66 * 67 * 68 * 69 * 71 * 72 * 73 * 74 * 76 * 77 * 78 * 79 * 81 * 82 * 83 * 84 * 86 * 87 * 88 * 89 * 91 * 92 * 93 * 94 * 96 * 97 * 98 * 99 * 15)

Řešení:

60 = 2^2 * 3 * 5

d₁ = 11 ....... 11 not div 5
d₂ = 12 ....... 12 not div 5 ; 12 div 3; 12 div 4
d₃ = 13 ....... 13 not div 5
d₄ = 14 ....... 14 not div 5
d₅ = 16 ....... 16 not div 5 ; 16 div 4
d₆ = 17 ....... 17 not div 5
d₇ = 18 ....... 18 not div 5 ; 18 div 3
d₈ = 19 ....... 19 not div 5
d₉ = 21 ....... 21 not div 5 ; 21 div 3
d₁₀ = 22 ....... 22 not div 5
d₁₁ = 23 ....... 23 not div 5
d₁₂ = 24 ....... 24 not div 5 ; 24 div 3; 24 div 4
d₁₃ = 26 ....... 26 not div 5
d₁₄ = 27 ....... 27 not div 5 ; 27 div 3
d₁₅ = 28 ....... 28 not div 5 ; 28 div 4
d₁₆ = 29 ....... 29 not div 5
d₁₇ = 31 ....... 31 not div 5
d₁₈ = 32 ....... 32 not div 5 ; 32 div 4
d₁₉ = 33 ....... 33 not div 5 ; 33 div 3
d₂₀ = 34 ....... 34 not div 5
d₂₁ = 36 ....... 36 not div 5 ; 36 div 3; 36 div 4
d₂₂ = 37 ....... 37 not div 5
d₂₃ = 38 ....... 38 not div 5
d₂₄ = 39 ....... 39 not div 5 ; 39 div 3
d₂₅ = 41 ....... 41 not div 5
d₂₆ = 42 ....... 42 not div 5 ; 42 div 3
d₂₇ = 43 ....... 43 not div 5
d₂₈ = 44 ....... 44 not div 5 ; 44 div 4
d₂₉ = 46 ....... 46 not div 5
d₃₀ = 47 ....... 47 not div 5
d₃₁ = 48 ....... 48 not div 5 ; 48 div 3; 48 div 4
d₃₂ = 49 ....... 49 not div 5
d₃₃ = 51 ....... 51 not div 5 ; 51 div 3
d₃₄ = 52 ....... 52 not div 5 ; 52 div 4
d₃₅ = 53 ....... 53 not div 5
d₃₆ = 54 ....... 54 not div 5 ; 54 div 3
d₃₇ = 56 ....... 56 not div 5 ; 56 div 4
d₃₈ = 57 ....... 57 not div 5 ; 57 div 3
d₃₉ = 58 ....... 58 not div 5
d₄₀ = 59 ....... 59 not div 5
d₄₁ = 61 ....... 61 not div 5
d₄₂ = 62 ....... 62 not div 5
d₄₃ = 63 ....... 63 not div 5 ; 63 div 3
d₄₄ = 64 ....... 64 not div 5 ; 64 div 4
d₄₅ = 66 ....... 66 not div 5 ; 66 div 3
d₄₆ = 67 ....... 67 not div 5
d₄₇ = 68 ....... 68 not div 5 ; 68 div 4
d₄₈ = 69 ....... 69 not div 5 ; 69 div 3
d₄₉ = 71 ....... 71 not div 5
d₅₀ = 72 ....... 72 not div 5 ; 72 div 3; 72 div 4
d₅₁ = 73 ....... 73 not div 5
d₅₂ = 74 ....... 74 not div 5
d₅₃ = 76 ....... 76 not div 5 ; 76 div 4
d₅₄ = 77 ....... 77 not div 5
d₅₅ = 78 ....... 78 not div 5 ; 78 div 3
d₅₆ = 79 ....... 79 not div 5
d₅₇ = 81 ....... 81 not div 5 ; 81 div 3
d₅₈ = 82 ....... 82 not div 5
d₅₉ = 83 ....... 83 not div 5
d₆₀ = 84 ....... 84 not div 5 ; 84 div 3; 84 div 4
d₆₁ = 86 ....... 86 not div 5
d₆₂ = 87 ....... 87 not div 5 ; 87 div 3
d₆₃ = 88 ....... 88 not div 5 ; 88 div 4
d₆₄ = 89 ....... 89 not div 5
d₆₅ = 91 ....... 91 not div 5
d₆₆ = 92 ....... 92 not div 5 ; 92 div 4
d₆₇ = 93 ....... 93 not div 5 ; 93 div 3
d₆₈ = 94 ....... 94 not div 5
d₆₉ = 96 ....... 96 not div 5 ; 96 div 3; 96 div 4
d₇₀ = 97 ....... 97 not div 5
d₇₁ = 98 ....... 98 not div 5
d₇₂ = 99 ....... 99 not div 5 ; 99 div 3

Zkusit jiný příklad

Zobrazuji 5 komentářů:

Žák

Nešlo by to řešení lépe vysvětlit?

1 rok  Like

Dr Math

to jeste neni reseni ovsem...

1 rok  Like

Žák

A kdy bude řešení? Toto je zcela neúplné

1 rok  Like

Dr Math

takto, 60 = 4 * 3 * 5

vypíšeme si dvouciferně cisla ktere nejsou dělitelné 5. Je jich 72. podezřelé číslo. V mnozine těchto 72 čísel su zarucene cisla ktere jsou dělitelné číslem 3 i 4. Tedy pokud k těmto 72 číslům pridam jakékoliv dvouciferně cislo, je zaručené dělitelem 5 (protože jsem vynechal jen dělitelné pěti). Pokud bych násobek všech 73 čísel, zarucene mam že výsledek násobení bude dělitelný 3,4 i 5, a proto i 60.

1 rok  Like

Žák

Ještě jak najít ten příklad čísla n

1 rok  1 Like Like

Další podobné příklady a úkoly:

• Z7–I–1 MO 2017
  Petr řekl Pavlovi: „Napiš dvojmístné přirozené číslo, které má tu vlastnost, že když od něj odečteš dvojmístné přirozené číslo napsané obráceně, dostaneš rozdíl 63. Které číslo mohl Pavel napsat? Určete všechny možnosti.
• MO Z8-I-2 2012
  Číslo X je nejmenší takové přirozené číslo, jehož polovina je dělitelná třemi, třetina dělitelná čtyřmi, čtvrtina dělitelná jedenácti a jeho polovina dává zbytek 5 po dělení sedmi. Najděte toto číslo.
• Z7–I–1 MO 2018
  Na každé ze tří kartiček je napsána jedna číslice různá od nuly (na různých kartičkách nejsou nutně různé číslice). Víme, že jakékoli trojmístné číslo poskládané z těchto kartiček je dělitelné šesti. Navíc lze z těchto kartiček poskládat trojmístné číslo
• MO C–I–1 2018
  Neznámé číslo je dělitelné právě čtyřmi čísly z množiny {6, 15, 20, 21, 70}. Určete, kterými.
• Tříciferné čísla
  Z číslic 1, 2, 3, 4, 5 utvoř všechna trojmístná čísla tak, aby se v nich neopakovala žádná číslice a aby číslo bylo dělitelné číslem 2. Kolik je takových čísel?
• Z9–I–1
  Ve všech devíti polích obrazce mají být vyplněna přirozená čísla tak, aby platilo: • každé z čísel 2, 4, 6 a 8 je použito alespoň jednou, • čtyři z polí vnitřního čtverce obsahují součiny čísel ze sousedících polí vnějšího čtverce, • v kruhu je součet čís
• Prvočísla - 6c
  Najít všechna šesticiferná prvočísla, která obsahují každou z číslic 1,2,4,5,7 a 8 právě jednou. Kolik jich je?
• Sněhurka 2019 MO Z7
  Sněhurka se sedmi trpaslíky nasbírali šišky na táborák. Sněhurka řekla, že počet všech šišek je číslo dělitelné dvěma. První trpaslík prohlásil, že je to číslo dělitelné třemi, druhý trpaslík řekl, že je to číslo dělitelné čtyřmi, třetí trpaslík řekl, že
• Z9-I-6 MO 2017
  Na přímce představující číselnou osu uvažte navzájem různé body odpovídající číslům a, 2a, 3a+1 ve všech možných pořadích. U každé možnosti rozhodněte, zda je takové uspořádání možné. Pokud ano, uveďte konkrétní příklad, pokud ne, zdůvodněte proč.
• Z7-I-4 MO 2017
  Na stole leželo šest kartiček s ciframi 1, 2, 3, 4, 5, 6. Anežka z těchto kartiček složila šestimístné číslo, které bylo dělitelné šesti. Potom postupně odebírala kartičky zprava. Když odebrala první kartičku, zůstalo na stole pětimístné číslo dělitelné p
• Z6 – I – 6 MO 2019
  Majka zkoumala vícemístná čísla, ve kterých se pravidelně střídají liché a sudé číslice. Ta, která začínají lichou číslicí, nazvala komická a ta, která začínají sudou číslicí, nazvala veselá. (Např. Číslo 32387 je komické, číslo 4529 je veselé. ) Mezi tro
• Dělitelnost
  Je číslo 237610 dělitelné číslem 5?
• Z9–I–4 MO 2017
  Čísla 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 a 9 se chystala na cestu vlakem se třemi vagóny. Chtěla se rozsadit tak, aby v každém vagóně seděla tři čísla a největší z každé trojice bylo rovno součtu zbylých dvou. Průvodčí tvrdil, že to není problém, a snažil se číslům p
• Dělitelnost
  Na pěti lístcích na stole jsou napsány číslice 1,2,3,4,5. Průvan lístky náhodně zamíchal a složil z nich 5-ciferné číslo. Jaká je pravděpodobnost, že složil: a, největší možné číslo b, nejmenší možné číslo c, číslo dělitelné pěti d, sudé číslo e, liché čí
• Z9-I-4 2018 Hoteliér
  Hoteliér chtěl vybavit jídelnu novými židlemi. V katalogu si vybral typ židle. Až při zadávání objednávky se od výrobce dozvěděl, že v rámci slevové akce nabízejí každou čtvrtou židli za poloviční cenu a že tedy oproti plánu může ušetřit za sedm a půl žid
• Pastevci
  Na louce se pasou koně, krávy a ovce, spolu jich je méně než 200. Kdyby bylo krav 45-krát více, koní 60-krát více a ovcí 35krát více než jejich je nyní, jejich počty by se rovnaly. Kolik se spolu na louce pase koní, krav a ovcí?
• MO C-I-3 2019
  Určete všechny dvojice přirozených čísel A a B, pro které platí, že součet dvojnásobku nejmenšího společného násobku a trojnásobku největšího společného dělitele přirozených čísel A a B je roven jejich součinu.