MO B 2019 - uloha 2

Prirodzené číslo n má aspoň 73 dvojciferných deliteľov. Dokážte, že jedným z nich je číslo 60. Uveďte tiež príklad čísla n, ktoré má práve 73 dvojciferných deliteľov, vrátane náležitého zdôvodnenia.

Výsledok

n1 = (Správna odpoveď je: 11 * 12 * 13 * 14 * 16 * 17 * 18 * 19 * 21 * 22 * 23 * 24 * 26 * 27 * 28 * 29 * 31 * 32 * 33 * 34 * 36 * 37 * 38 * 39 * 41 * 42 * 43 * 44 * 46 * 47 * 48 * 49 * 51 * 52 * 53 * 54 * 56 * 57 * 58 * 59 * 61 * 62 * 63 * 64 * 66 * 67 * 68 * 69 * 71 * 72 * 73 * 74 * 76 * 77 * 78 * 79 * 81 * 82 * 83 * 84 * 86 * 87 * 88 * 89 * 91 * 92 * 93 * 94 * 96 * 97 * 98 * 99 * 15) Nesprávne

Riešenie:

60 = 2^2 * 3 * 5

d1 = 11 ....... 11 not div 5
d2 = 12 ....... 12 not div 5 ; 12 div 3; 12 div 4
d3 = 13 ....... 13 not div 5
d4 = 14 ....... 14 not div 5
d5 = 16 ....... 16 not div 5 ; 16 div 4
d6 = 17 ....... 17 not div 5
d7 = 18 ....... 18 not div 5 ; 18 div 3
d8 = 19 ....... 19 not div 5
d9 = 21 ....... 21 not div 5 ; 21 div 3
d10 = 22 ....... 22 not div 5
d11 = 23 ....... 23 not div 5
d12 = 24 ....... 24 not div 5 ; 24 div 3; 24 div 4
d13 = 26 ....... 26 not div 5
d14 = 27 ....... 27 not div 5 ; 27 div 3
d15 = 28 ....... 28 not div 5 ; 28 div 4
d16 = 29 ....... 29 not div 5
d17 = 31 ....... 31 not div 5
d18 = 32 ....... 32 not div 5 ; 32 div 4
d19 = 33 ....... 33 not div 5 ; 33 div 3
d20 = 34 ....... 34 not div 5
d21 = 36 ....... 36 not div 5 ; 36 div 3; 36 div 4
d22 = 37 ....... 37 not div 5
d23 = 38 ....... 38 not div 5
d24 = 39 ....... 39 not div 5 ; 39 div 3
d25 = 41 ....... 41 not div 5
d26 = 42 ....... 42 not div 5 ; 42 div 3
d27 = 43 ....... 43 not div 5
d28 = 44 ....... 44 not div 5 ; 44 div 4
d29 = 46 ....... 46 not div 5
d30 = 47 ....... 47 not div 5
d31 = 48 ....... 48 not div 5 ; 48 div 3; 48 div 4
d32 = 49 ....... 49 not div 5
d33 = 51 ....... 51 not div 5 ; 51 div 3
d34 = 52 ....... 52 not div 5 ; 52 div 4
d35 = 53 ....... 53 not div 5
d36 = 54 ....... 54 not div 5 ; 54 div 3
d37 = 56 ....... 56 not div 5 ; 56 div 4
d38 = 57 ....... 57 not div 5 ; 57 div 3
d39 = 58 ....... 58 not div 5
d40 = 59 ....... 59 not div 5
d41 = 61 ....... 61 not div 5
d42 = 62 ....... 62 not div 5
d43 = 63 ....... 63 not div 5 ; 63 div 3
d44 = 64 ....... 64 not div 5 ; 64 div 4
d45 = 66 ....... 66 not div 5 ; 66 div 3
d46 = 67 ....... 67 not div 5
d47 = 68 ....... 68 not div 5 ; 68 div 4
d48 = 69 ....... 69 not div 5 ; 69 div 3
d49 = 71 ....... 71 not div 5
d50 = 72 ....... 72 not div 5 ; 72 div 3; 72 div 4
d51 = 73 ....... 73 not div 5
d52 = 74 ....... 74 not div 5
d53 = 76 ....... 76 not div 5 ; 76 div 4
d54 = 77 ....... 77 not div 5
d55 = 78 ....... 78 not div 5 ; 78 div 3
d56 = 79 ....... 79 not div 5
d57 = 81 ....... 81 not div 5 ; 81 div 3
d58 = 82 ....... 82 not div 5
d59 = 83 ....... 83 not div 5
d60 = 84 ....... 84 not div 5 ; 84 div 3; 84 div 4
d61 = 86 ....... 86 not div 5
d62 = 87 ....... 87 not div 5 ; 87 div 3
d63 = 88 ....... 88 not div 5 ; 88 div 4
d64 = 89 ....... 89 not div 5
d65 = 91 ....... 91 not div 5
d66 = 92 ....... 92 not div 5 ; 92 div 4
d67 = 93 ....... 93 not div 5 ; 93 div 3
d68 = 94 ....... 94 not div 5
d69 = 96 ....... 96 not div 5 ; 96 div 3; 96 div 4
d70 = 97 ....... 97 not div 5
d71 = 98 ....... 98 not div 5
d72 = 99 ....... 99 not div 5 ; 99 div 3




Budeme veľmi radi, ak nájdete chybu v príklade, pravopisné chyby alebo nepresnosť a ju nám prosím pošlete. Ďakujeme!






Zobrazujem 6 komentárov:
#
Dr Math
takto, 60 = 4*3*5

vypisem si dvojciferne cisla ktore nie su delitelne 5. Je ich 72. Podozrive cislo.  V mnozine tychto 72 cisel su zarucene cisla ktore su delitelne cislom 3 aj 4 (napr. cislo 36 ...). Teda ak k tymto 72 cislam pridam akekolvek dvojciferne cislo, je zarucene delitelne 5 (lebo som vynechal len delitelne piatimi). Ak by som vynasobil vsetkych 73 cisel, zarucene mam ze vysledok nasobenia bude delitelny 3,4 aj 5, a preto aj 60.

#
Dr Math
tych 72 zistim tak ze mame 100-10 = 90 ruznych dvojcifernych cisel. dvojcifernych cisel delitelnych 5 je 100/5 - 2 = 18. 90-18=72

#
Žiak
A ako nájdeme číslo s presne 73 deliteľmi, čo je podúloha?

#
Dr Math
cislo s presne 73 delitelmi najdem tak ze vynasobim prvych 73 prvocisel.,,, ak toto neviete, MO radsej nerieste... Samozrejme da sa to aj inak, napr. ked je v prvociselnom rozklade zlozene cislo 4 = 22, tak to zdvojnasobuje pocet vsetkych delitelov... To je potom komplikovanejsie.

#
Žiak
Zle som sa vyjadril. Práve 73 dvojciferných deliteľov - Podľa zadania. (Prvých 73 hocijakých je jasné, že prvočísla znásobiť.)

#
Žiak
Ako teda s tými práve 73 dvojcifernými deliteľmi?

avatar










 
Odporúčame k tejto úlohe z matematiky si pozrieť toto výukové video: video1   video2   video3

Ďaľšie podobné príklady a úlohy:

  • MO Z8–I–3 - 2017 - Adelka
    numbers2_32 Adelka mala na papieri napísané dve čísla. Keď k nim pripísala ešte ich najväčší spoločný deliteľ a najmenší spoločný násobok, dostala štyri rôzne čísla menšie ako 100. S úžasom zistila, že keď vydelí najväčšie z týchto štyroch čísel najmenším, dostane na
  • Dcéry
    family_3 Muž vykonávajúci sčítanie ľudu sa pýta ženy na starobu ich troch dcér. Žena hovorí: Vynásobte ak ich vek, dostanete číslo 72; ak ich vek spočítate, dostanete číslo nášho domu, ktoré vidíte. Muž hovorí: To mi na výpočet ich veku nestačí. Žena hovorí: Moja
  • Úžasné číslo
    numbers4 Úžasnými číslom nazveme také párne číslo, ktorého rozklad na súčin prvočísel má práve tri nie nutne rôzne činitele a súčet všetkých jeho deliteľov je rovný dvojnásobku tohto čísla. Nájdite všetky užasné čísla.
  • Deliteľe
    triangle_div Koľko rôznych deliteľov má číslo ??
  • Z9–I–4 MO 2017
    vlak2 Čísla 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 a 9 sa chystali na cestu vlakom s tromi vagónmi. Chceli sa rozsadiť tak, aby v každom vagóne sedeli tri čísla a najväčšie z každej trojice bolo rovné súčtu zvyšných dvoch. Sprievodca tvrdil, že to nie je problém, a snažil sa č
  • Z9–I–3 MO 2019
    reciprocal Pre ktoré celé čísla x je podiel (x+11)/(x+7) celým číslom. Riešení je údajne viac.
  • Koľko sedmičiek
    seven_1 Koľko číslic 7 sa nachádza v číslach od 1 po 777.
  • Z7–I–1 MO 2018
    numbers2_49 Na každej z troch kartičiek je napísaná jedna cifra rôzna od nuly (na rôznych kartičkách nie sú nutne rôzne cifry). Vieme, že akékoľvek trojciferné číslo zložené z týchto kartičiek je deliteľné šiestimi. Navyše možno z týchto kartičiek zložiť trojciferné
  • Kvetinárstvo
    kvetiny V kvetinárstve dostali 72 bielych a 90 červených ruží. Koľko kytíc môžu najviac zviazať zo všetkých týchto ruží, ak každá kytica má mať rovnaký počet bielych a červených ruží?
  • Deliteľnosť
    divisibility Je číslo 22388 deliteľné (bezo zvyšku) číslom 4?
  • Čísla
    numbers2_12 a, nájdi najväčšie prirodzené číslo , ktorým sa dajú vydeliť čísla 54 aj 72 ( 120 , 60 aj 42 ) b, nájdi najmenšie prirodzené číslo, ktoré sa dá vydeliť každým z čísel 36 a 48 ( 24,18 a 16 )
  • Kytice 2
    tulipany Simona natrhala v záhrade 63 tulipánov a uviazala z nich dvojfarebné kytice pre svoje priateľky. Tulipány boli iba červené a biele. Do každej kytice dala rovnako veľa tulipánov, pričom tri z nich boli vždy červené. Koľko mohla Simona odtrhnúť' bielych tul
  • MO Z8-I-2 2012
    numbers Číslo X je najmenšie také prirodzené číslo, ktorého polovica je deliteľná tromi, tretina deliteľná štyrmi, štvrtina deliteľná jedenástimi a jeho polovica dáva zvyšok 5 po delení siedmimi. Nájdite toto číslo.
  • Z7-I-4 MO 2017
    math_mo_2 Na stole ležalo šesť kartičiek s ciframi 1, 2, 3, 4, 5, 6. Anežka z týchto kartičiek zložila šesťciferné číslo, ktoré bolo deliteľné šiestimi. Potom postupne odoberala kartičky sprava. Keď odobrala prvú kartičku, zostalo na stole päťciferné číslo deliteľn
  • Trojciferné čísla
    3digit Z číslic 1, 2, 3, 4, 5 utvor všetky trojciferné čísla tak, aby sa v nich neopakovala žiadna číslica a aby číslo bolo deliteľné číslom 2. Koľko je takých čísel?
  • Šťastný deň
    calendar_1 Číslo dňa je poradové číslo daného dňa v príslušnom mesiaci (teda napr. číslo dňa 5. augusta 2016 je 5). Ciferný súčet dňa je súčet hodnôt všetkých cifier v dátume tohto dňa (teda napr. ciferný súčet dňa 5. augusta 2016 je 5+8+2+0+1+6 = 22). Šťastný deň j
  • Cukríky MO Z6-I-5 2017
    cukriky_10 V plechovke boli červené a zelené cukríky. Cyril zjedol 2/5 všetkých červených cukríkov a Zuzka zjedla 3/5 všetkých zelených cukríkov. Teraz tvoria červené cukríky 3/8 všetkých cukríkov v plechovke. Koľko najmenej cukríkov mohlo byť pôvodne v plechovke?