Geometrická trojka

Z kladných čísel 58, a, b, 116 prvé tri sú tri za sebou nasledujúce členy aritmetickej postupnosti, posledné tri sú tri za sebou nasledujúce členy geometrickej postupnosti. Určte hodnotu členov a, b.

Správna odpoveď:

a =  75,923
b =  93,846

Postup správneho riešenia:

$$\begin{gathered} a=58+d \\ b=58+2d \\ b=qa \\ 116=q^{2}a \\ b=58+a \\ {b}^2=116a \\ d=a-58=b-a \\ a-58=b-a \\ 2a=b+58 \\ b=2a-58 \\ {b}^2=116a \\ (2a-58{)}^2=116a \\ (2a-58{)}^2=116a \\ 4a^2-348a+3364=0 \\ 4=2^2 \\ 348=2^2\cdot 3\cdot 29 \\ 3364=2^2\cdot 29^2 \\ \text{NSD}(4,348,3364)=2^2=4 \\ {a}^2-87a+841=0 \\ p=1;q=-87;r=841 \\ D=q^2-4pr=87^2-4\cdot 1\cdot 841=4205 \\ D>0 \\ {a}_{1,2}=\frac{-q\pm \sqrt{D}}{2p}=\frac{87\pm \sqrt{4205}}{2}=\frac{87\pm 29\sqrt{5}}{2} \\ {a}_{1,2}=43,5\pm 32,422986 \\ {a}_1=75,922985674 \\ {a}_2=11,077014326 \\ a=a_1=75,923 \end{gathered}$$

Výpočet overte naším kalkulátorom kvadratických rovníc .

$$\begin{gathered} b=2\cdot a-58=2\cdot 75,923-58\doteq 93,846 \\ \text{ Skuˊsˇka spraˊvnosti: } \\ {d}_1=a-58=75,923-58\doteq 17,923 \\ {d}_2=b-a=93,846-75,923\doteq 17,923 \\ {q}_1=b/a=93,846/75,923\doteq 1,2361 \\ {a}_2=116/b=116/93,846\doteq 1,2361 \end{gathered}$$

Skúsiť iný príklad