Pážata MO Z6-I-4

Raz si kráľ zavolal všetky svoje pážatá a postavil ich do radu. Prvému pážaťu dal určitý počet dukátov, druhému dal o dva dukáty menej, tretiemu opäť o dva dukáty menej a tak ďalej. Keď došiel k poslednému pážaťu, dal mu príslušný počet dukátov, otočil sa a obdobným spôsobom postupoval na začiatok radu (t. J. Predposlednému pážaťu dal o dva dukáty menej ako pred chvíľou poslednému atď. ). Na prvé páža v tomto kole vyšli dva dukáty. Potom jedno z pážat zistilo, že má 32 dukátov. Koľko mohol mať kráľ pážat a koľko celkom im mohol rozdať dukátov?

Určte všetky možnosti.

Správny výsledok:

n₁ =  8
d₁ =  240
n₂ =  16
d₂ =  992

Riešenie:

$$\begin{gathered} d(n)=(n-1)\cdot 4\cdot n+2\cdot n \\ {n}_1=8 \end{gathered}$$

$d_1=(n_1-1)\cdot 32+16=(8-1)\cdot 32+16=240$

$n_2=2\cdot n_1=2\cdot 8=16$

$d_2=(n_2-1)\cdot 64+32=(16-1)\cdot 64+32=992$

Skúsiť iný príklad

Zobrazujem 1 komentár:

Matematik

ano, uz sme na to aj my prisli.... je to jednoduche a sami sme to komplikovane hladali riesenie... Treba si rozpisat par pazat napr. pre n=2 , n=3, n=4 a z toho indukciou odvodit vztah pre obecne vztah dukatov a pazat. Vyjde ze prve az predposledne dostanu rovnaky pocet dukatov a to 4n a posledne len 2n. Otazka potom dalej je ze spravne riesenia su tie kde 4n=32 alebo 2n=32, tj n=8 alebo n = 16. pocet dukatov uz scitanim + nasobenim

10 mesiacov  Like

Ďaľšie podobné príklady a úlohy:

• MO 2019 Z5–I–3 Dukáty
  Pán kráľ rozdával svojim synom dukáty. Najstaršiemu synovi dal určitý počet dukátov, mladšiemu dal o jeden dukát menej, ďalšiemu dal opäť o jeden dukát menej a takto postupoval až k najmladšiemu. Potom sa vrátil k najstaršiemu synovi, dal mu o jeden dukát
• Rad
  Vašou úlohou je vyjadriť súčet nasledujúceho aritmetického radu pre n = 14: S(n) = 11 + 13 + 15 + 17 + ... + 2n+9 + 2n+11
• MO - bikvadrát
  Nájdite najväčšie prirodzené číslo d, ktoré má tú vlastnosť, že pre ľubovoľné prirodzené číslo n je hodnota výrazu V(n)=n⁴+11n²−12 deliteľná číslom d.
• Postupnosť
  Zapíšte prvých 6 členov tejto postupnosti: a₁ = 5 a₂ = 7 a_n+2 = a_n+1 +2 a_n
• Dokážte 2
  Dokážte, že postupnosť { 3 – 4. n } od n=1 po ∞ je klesajúca.
• Postupnosť
  V aritmetickej postupnosti je dané: S_n=2304, d=2, a_n=95 Vypočítajte a₁ a n.
• Vykrátiť
  Upravte výraz s faktoriálmi: (n+6)!/(n+4)!-n!/(n-2)!
• Deti v triede
  Koľko detí je v triede, ak je Ladislav 10. najľahší a 16. najťažší z triedy? Každé dieťa má inú váhu.
• Z dovolenky
  Táňa si priniesla z dovolenky plné vrecko mušlí, ale určite ich nebolo viac ako 300. Chcela ich podarovať kamarátkam, tak ich rozdelila na šesť rovnakých kôpok. Potom si spomenula na ďalšiu priateľku, tak ich prerozdelila na sedem rovnakýc
• MO 2019 Z8–I–4
  Pre päticu celých čísel platí, že keď k prvému pripočítame jednotku, druhé umocníme na druhú, od tretieho odčítame trojku, štvrté vynásobíme štyrmi a piate vydelíme piatimi, dostaneme zakaždým ten istý výsledok. Nájdite všetky také pätice čísel, ktorých s
• Alej 3
  V aleji zostali 4 stromy medzi ktorými sú vzdialenosti 35m,15m a 95m. Do medzier maju byť nasadené stromy, tak aby vzdialenosť bola rovnaká a maximálna. Koľko stromov nasadia a aká bude vzdialenosť medzi nimi?
• MO-I-Z6
  Štvorec so stranou 4 cm je rozdelený na štvorčeky so stranou 1 cm ako na obrázku. Rozdeľte štvorec pozdĺž vyznačených čiar na dva útvary s obvodom 16 cm. Nájdite aspoň tri rôzne riešenia (tzn. také tri riešenia, aby žiadny útvar jedného riešenia nebol zho
• Babka a dedko
  Babička upiekla koláče. Dedko zjedol polovicu, potom zo zvyšku štvrtinu zjedol Peťko a z toho, čo zvýšilo zjedol Paľko polovicu. Rodičom nechali ešte 6 koláčov. Koľko koláčov nachystala babička?
• Komora
  V komore, kde sa rozbilo svetlo a všetko z nej musíme brať naslepo, máme ponožky štyroch rôznych farieb. Ak si chceme byť istí, že vytiahneme aspoň dve biele ponožky, musíme ich z komory priniesť 28. Aby sme mali takú istotu pre sivé ponožky, musíme ich p
• Stoly
  V jedálni sú stoly so: 4 stoličkami, 6 stoličkami, 8 stoličkami. Koľko najmenej stravníkov musí byť, aby boli obsadené všetky stoly a stravníkov je viac ako 50?
• Z7–I–1 MO 2018
  Na každej z troch kartičiek je napísaná jedna cifra rôzna od nuly (na rôznych kartičkách nie sú nutne rôzne cifry). Vieme, že akékoľvek trojciferné číslo zložené z týchto kartičiek je deliteľné šiestimi. Navyše možno z týchto kartičiek zložiť trojciferné
• MO Z8–I–3 - 2017 - Adelka
  Adelka mala na papieri napísané dve čísla. Keď k nim pripísala ešte ich najväčší spoločný deliteľ a najmenší spoločný násobok, dostala štyri rôzne čísla menšie ako 100. S úžasom zistila, že keď vydelí najväčšie z týchto štyroch čísel najmenším, dostane na