MO 2019 Z5–I–3 Dukáty
Pán kráľ rozdával svojim synom dukáty. Najstaršiemu synovi dal určitý počet dukátov, mladšiemu dal o jeden dukát menej, ďalšiemu dal opäť o jeden dukát menej a takto postupoval až k najmladšiemu. Potom sa vrátil k najstaršiemu synovi, dal mu
o jeden dukát menej ako pred chvíľou najmladšiemu a rovnakým spôsobom ako v prvom kole rozdával ďalej. V tomto kole vyšiel na najmladšieho syna jeden dukát. Najstarší syn dostal celkom 21 dukátov.
Určte, koľko mal kráľ synov a koľko im celkom rozdal dukátov.
o jeden dukát menej ako pred chvíľou najmladšiemu a rovnakým spôsobom ako v prvom kole rozdával ďalej. V tomto kole vyšiel na najmladšieho syna jeden dukát. Najstarší syn dostal celkom 21 dukátov.
Určte, koľko mal kráľ synov a koľko im celkom rozdal dukátov.
Správna odpoveď:
Zobrazujem 10 komentárov:
Linda
aj tak tomu nerozumiem, čo je "n" a čo je "s". Ak má sedem synov, tak to predsa nevychádza. Či?!
Nemôžete mi to nakresliť koľko dostal v ktorom kole dukátov a koľko bolo vlastne tých kôl?
Nemôžete mi to nakresliť koľko dostal v ktorom kole dukátov a koľko bolo vlastne tých kôl?
4 roky 2 Likes
Linda
podľa zadania vychádza, že boli tri kolá. A na konci tretieho kola má mať SPOLU 21 dukátov. Podľa vášho riešenia mi to nevychádza. Alebo ako to vlastne je.
Dr Math
no vidite; kola boli len dve (nepise sa v zadani ze viacej bolo)... princov bolo 7. Prvy dostal 14+7 = 21 ... dalsi 13+6 = 19 atd...
Linda
a ako vlastne prídem na to, že mal sedem synov. Ja som síce počítala 21/3, ale neviem prečo ma napadla tá trojka.
Dr Math
skuste ist na to odzadu... n-ty dostane 1 dukat, (n-1) syn 2 dukaty ( vsimnite si ze sucet poradia a poctu dokatov je vzdy n+1)... az prvy syn n-dukatov. ak ideme este dozadu o kolo tak prvy syn dostane v predoslom kole 2n dukatov, este v dalsom 3n dukatov atd. tj. kazdym kolom o n dukatov viacej by dostal.
cize 1+2 druhe kolo rozdavania dukatov 2n+n = 3n = 21 dukatov. Rovnicu vyriesime a mame n=7
Keby rozdava 3 kola, tak prvy dostane 42 dukatov = 7+14+21(to je len ukazka)
cize 1+2 druhe kolo rozdavania dukatov 2n+n = 3n = 21 dukatov. Rovnicu vyriesime a mame n=7
Keby rozdava 3 kola, tak prvy dostane 42 dukatov = 7+14+21(to je len ukazka)
4 roky 1 Like
Linda
Takže jednoducho iba postupne skúšať s koľkými synmi to výjde. Lebo rovnice sme sa ešte neučili.
Matematik
A mame tu oficialne riesenie - konstatujem ze sme sa nepomylili:
Nápad. Koľko dukátov by dostal najstarší syn, ak by kráľ rovnakým spôsobom rozdával napr. štyrom synom?
Riešenie. Pre konkrétny počet synov si možno kráľov spôsob rozdávania dukátov názorne vyskúšať. Stačí postupovať odzadu: najmladší v druhom kole dostal jeden dukát, druhý najmladší dva dukáty atď. Napr. pre dvoch, troch, resp. štyroch synov by
počty dukátov v jednotlivých kolách vyzerali nasledovne (zoradené zhora nadol podľa kôl, zľava doprava podľa veku):
4 3
2 1
6 5 4
3 2 1
8 7 6 5
4 3 2 1
Najstarší syn by v prvom prípade dostal 6, v druhom prípade 9, resp. v treťom prípade 12 dukátov. Týmto spôsobom možno postupne nájsť situáciu, keď najstarší syn dostal 21 dukátov:
14 13 12 11 10 9 8
7 6 5 4 3 2 1
Teda kráľ mal 7 synov a celkom im rozdal 105 dukátov.
Poznámky. Namiesto skúšania si možno všimnúť, že zo zadania vyplýva nasledujúce:
najstarší syn v druhom kole dostane práve toľko dukátov, koľko je synov, a v prvom kole dvojnásobok, celkom teda trojnásobok počtu synov. Aby tento počet bol rovný 21, musí byť 7 synov a celkový počet dukátov 1 + 2 + · · · + 14 = 105.
Súčet rozdaných dukátov možno určiť rôzne, napr. nasledujúcou skratkou:
(1 + 14) + (2 + 13) + · · · + (7 + 8) = 7 · 15 = 105.
Nápad. Koľko dukátov by dostal najstarší syn, ak by kráľ rovnakým spôsobom rozdával napr. štyrom synom?
Riešenie. Pre konkrétny počet synov si možno kráľov spôsob rozdávania dukátov názorne vyskúšať. Stačí postupovať odzadu: najmladší v druhom kole dostal jeden dukát, druhý najmladší dva dukáty atď. Napr. pre dvoch, troch, resp. štyroch synov by
počty dukátov v jednotlivých kolách vyzerali nasledovne (zoradené zhora nadol podľa kôl, zľava doprava podľa veku):
4 3
2 1
6 5 4
3 2 1
8 7 6 5
4 3 2 1
Najstarší syn by v prvom prípade dostal 6, v druhom prípade 9, resp. v treťom prípade 12 dukátov. Týmto spôsobom možno postupne nájsť situáciu, keď najstarší syn dostal 21 dukátov:
14 13 12 11 10 9 8
7 6 5 4 3 2 1
Teda kráľ mal 7 synov a celkom im rozdal 105 dukátov.
Poznámky. Namiesto skúšania si možno všimnúť, že zo zadania vyplýva nasledujúce:
najstarší syn v druhom kole dostane práve toľko dukátov, koľko je synov, a v prvom kole dvojnásobok, celkom teda trojnásobok počtu synov. Aby tento počet bol rovný 21, musí byť 7 synov a celkový počet dukátov 1 + 2 + · · · + 14 = 105.
Súčet rozdaných dukátov možno určiť rôzne, napr. nasledujúcou skratkou:
(1 + 14) + (2 + 13) + · · · + (7 + 8) = 7 · 15 = 105.
Na vyriešenie tejto úlohy sú potrebné tieto znalosti z matematiky:
Jednotky fyzikálnych veličín:
Téma:
Úroveň náročnosti úlohy:
Súvisiace a podobné príklady:
- Pážata MO Z6-I-4
Raz si kráľ zavolal všetky svoje pážatá a postavil ich do radu. Prvému pážaťu dal určitý počet dukátov, druhému dal o dva dukáty menej, tretiemu opäť o dva dukáty menej a tak ďalej. Keď došiel k poslednému pážaťu, dal mu príslušný počet dukátov, otočil sa - Dukáty 2
Kráľ rozdelil dukáty svojim trom synom v pomere 2:5:4. Koľko dukátov im kráľ rozdelil, ak najmladší dostal 260 dukátov, čo bolo najmenej zo všetkých synov. - Najstaršiemu 78084
Kráľ Václav sa rozhodol pred odchodom do dôchodku rozdeliť krajinu medzi svojich troch synov. Najstaršiemu dal tretinu kráľovstva, ďalší dvaja synovia boli dvojčatá, a tak dal každému z nich štvrtinu kráľovstva. Zvyšok si ponechal pre seba, aby mal kam ch - Kone
Kráľ rozdelil trom synom svoje kone v pomere 7 : 6 : 4. Najstarší syn dostal 63 koní, čo bolo najviac zo všetkých bratov. Koľko koní kráľ rozdelil svojim synom?
- Otec chcel
Otec chcel pôvodne rozdeliť finančný obnos svojim synom v pomere 7:6. Potom ho však rozdelil v pomere 6:5 (v rovnakom poradí). Jeden zo synov sa rozhneval, že mal pôvodne dostať o 120 eur viac. Koľko eur dostal každý syn? - Dedičstvo po farmárovi
Farmár zomrel, nechal svojich 17 koní pre svojich 3 synov. Keď jeho synovia otvorili vôľu, čítali: Môj najstarší syn by mal dostať 1/2 (polovicu) z celkového počtu koní; Môj prostredný syn by mal dostať 1/3 (jednu tretinu) z celkového počtu koní; Môjmu na - Dedičstvo
Podľa závetu sa dedičstvo rozdelí medzi 2 synov a 1 dcéru pomer sumy pridelenej najstaršiemu synovi k sume pridelenej dcére je 2:1, pomer sumy pridelenej najmladšiemu synovi k danej sume k dcére je 5:3. Aký je pomer sumy, ktorá sa dáva najstaršiemu synovi - Prikázal: 7981
Otec chcel z dedičstva podeliť všetkých svojich synov rovnakým dielom a prikázal: najstarší syn dostane 1000 Sk a jednu osminu zvyšku, druhý dostane 2000 Sk a jednu osminu nového zvyšku, tretí dostane 3000 Sk a osminu z ďalšieho zvyšku atď., až sa celá či - Nerozlíšiteľné loptičky
Otec má 6 synov a 10 rovnakých nerozlíšiteľných loptičiek. Koľkými spôsobmi môže loptičky synom rozdať, ak má každý dostať aspoň jeden?
- Teo je
Teo je veľký maškrtník. Mal pred sebou 16 keksíkov. Ráno z nich zjedol polovicu. Tie, ktoré mu zostali, dal na svoj stolík. O chvíľu dostal na ne chuť a znova zjedol polovicu z nich. Zvyšné opäť odložil. Večer zase zjedol polovicu. Koľko keksíkov zostalo - Kráľ rozdelil
Kráľ rozdelil dedičstvo svojim trom synom v pomere 7:6:4. Dvaja z nich dostali spolu 286000 zlatých. Koľko dostal každý zo synov. - Pán hribar
Pán hríbar nazbieral hríby, pätinu rozdal susedom, tretinu dal sušiť, a zvyšné hríby rozdelil na tri rovnake časti: sebe, pre syna a dcéru. Dcéra Dominika dostala 42. Koľko hríbov celkovo nazbieral a koľko hríbov rozdal susedom? - Šetrenie peňazí
Otec našetril v banke istú sumu peňazí. Svojim štyrom deťom rozdelil túto sumu rovnakým dielom. Jedna z dcér darovala 3/7 zo sumy, ktorú dostala, svojmu synovi a 4/9 z nej svojej dcére. Akú časť z celej našetrenej sumy dostal syn a akú dcéra? Kto z nich d - Známky 2
Jano si s Petrom zase vymieňajú známky. Jano dal Petrovi 8 známok. Celkovo však mal Jano po výmene o 6 známok menej ako Peter. Najprv zisti či Jano dostal od Petra viac alebo menej známok ako mu dal. Svoju odpoveď vysvetli. Koľko dal Peter Janovi známok?
- Jabu mal
Jabu mal niekoľko guličiek. Dnes hral a zdvojnásobil svoj počet guličiek. Potom mu Thabo dal tri guľôčky zadarmo. Jabu má teraz 21 guličiek. Koľko ich mal, kým začal hrať? Vyriešte tento problém pomocou vhodného modelu-metódy. - Charitatívnemu 62363
Roľník Rajendra mal dvoch synov a dve dcéry. Svoj majetok sa rozhodol rozdeliť medzi svojich synov a dcéry. Tak napísal "Vôľa" o rozdelení jeho majetku. Podľa jeho "Vôle" chcel dať 3/5 majetku svojim synom v rovnakom pomere, 1/3 svojim dcéram v - Zlaté prúty
V jednom kráľovstve sa po generácie dedili dva zlaté prúty. Avšak kráľ Emanuel mal troch synov, ktorí sa o nič nevedeli podeliť. Chcel im teda prelomením jedného prúta vyrobiť z dvoch prútov tri. Najmladší syn dostane najkratší prút, najstarší syn dostane