Nasledujúcich 43861

Budeme pracovať s triedou, v ktorej je 30 žiakov, 40% z nich sú chlapci, počet lavíc je 18. Určte počty možností v nasledujúcich zadaniach.

1) Určite, koľkými možnosťami je možné vybrať do súťaže trojicu žiakov, pokiaľ nie je určené, koľko je chlapcov a koľko dievčat.

2) Určite, koľkými možnosťami je možné žiakov v triede rozsadiť, pokiaľ je všetkým jedno, kde sedí.

3) Určite, koľkými spôsobmi je možné žiakov rozsadiť, pokiaľ sedia spoločne vždy len dievčatá alebo chlapci.

4) Určte, koľkými spôsobmi možno vybrať triednu samosprávu, zloženú z predsedu, podpredsedu, pokladníka.

Správna odpoveď:

n₁ =  4060
n₂ =  105
n₃ =  219
n₄ =  24360

Postup správneho riešenia:

$$\begin{gathered} C_3(30)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{30}{3}\right)=\frac{30!}{3!(30-3)!}=\frac{30\cdot 29\cdot 28}{3\cdot 2\cdot 1}=4060 \\ n=30 \\ q=40\%=\frac{40}{100}=\frac{2}{5}=0,4 \\ c=q\cdot n=0,4\cdot 30=12 \\ d=n-c=30-12=18 \\ l=18 \\ {n}_1=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{3}\right)=4060 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} C_2(15)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{15}{2}\right)=\frac{15!}{2!(15-2)!}=\frac{15\cdot 14}{2\cdot 1}=105 \\ l>n/2 \\ {n}_2=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n/2}{2}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{30/2}{2}\right)=105 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} C_2(18)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{18}{2}\right)=\frac{18!}{2!(18-2)!}=\frac{18\cdot 17}{2\cdot 1}=153 \\ {C}_2(12)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{2}\right)=\frac{12!}{2!(12-2)!}=\frac{12\cdot 11}{2\cdot 1}=66 \\ {n}_3=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{d}{2}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{c}{2}\right)=153+66=219 \end{gathered}$$

$n_4=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)=30\cdot (30-1)\cdot (30-2)=24360$

Skúsiť iný príklad