Kolotoče

Vyhliadkove koleso s priemerom 100 stôp vykoná 5 otáčok každých 8 minút. Základňa kolesa je 4 stopy nad zemou. Váš priateľ začína presne o 15:00.

a) napíšte rovnicu na vyjadrenie výšky vášho priateľa v stopách v ľubovoľnom čase v sekundách.

b) aká je výška tvojho priateľa po jednej minúte, 2 minútach?

c). Zistite, kedy je váš priateľ prvýkrát a druhýkrát v sekundách vo výške 90 stôp?

Správna odpoveď:

a = 54-50*cos(t*pi/48)
h₁ =  89,3553 ft
h₂ =  54 ft
t₃ =  36,2812 s
t₄ =  59,7188 s

Postup správneho riešenia:

$$\begin{gathered} d=100\text{ft} \\ r=d/2=100/2=50\text{ft} \\ {T}_5=8\text{min}\to \text{s}=8\cdot 60\text{s}=480\text{s} \\ n=5 \\ T=T_5/n=480/5=96\text{s} \\ h=4\text{ft} \\ f=1/T=1/96=\frac{1}{96}\doteq 0,0104\text{Hz} \\ \omega =2\pi \cdot f=\frac{2}{96}\cdot pi \\ \omega =\pi /48=3,1416/48\doteq 0,0654 \\ a=h+r-r\cdot \cos (\omega \cdot t) \\ a=54-50\cdot \cos (t\cdot \pi /48) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} t_1=1\text{min}\to \text{s}=1\cdot 60\text{s}=60\text{s} \\ {h}_1=h+r-r\cdot \cos (\omega \cdot t_1)=4+50-50\cdot \cos (0,0654\cdot 60)=89,3553\text{ft} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} t_2=2\text{min}\to \text{s}=2\cdot 60\text{s}=120\text{s} \\ {h}_2=h+r-r\cdot \cos (\omega \cdot t_2)=4+50-50\cdot \cos (0,0654\cdot 120)=54\text{ft} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} h_3=90\text{ft} \\ {h}_3=54-50\cdot \cos (t_3\pi /48) \\ 90=54-50\cdot \cos (t_3\pi /48) \\ -0,72=\cos (t_3\pi /48) \\ {t}_3=36,281194783384=36,2812\text{s} \end{gathered}$$

$t_4=59,718805216616=59,7188\text{s}$

Skúsiť iný príklad