Geometrická postupnosť

Dvaja členovia geometrickej postupnosti sú a2=12, a5=tri polovice.
a) vypočítajte desiaty člen postupnosti.
b) vypočítajte súčet prvých 8 členov postupnosti.
v) koľko prvých členov postupnosti je potrebné sčítať, aby bol súčet rovný 45?

Správna odpoveď:

a₁₀ =  3/64
s₈ =  47,8125
n =  4

Postup správneho riešenia:

$$\begin{gathered} a_2=12 \\ {a}_5=3/2=\frac{3}{2}=1\frac{1}{2}=1,5 \\ {a}_5=a_2\cdot q^3 \\ q=\sqrt[3]{a_5/a_2}=\sqrt[3]{1,5/12}=\frac{1}{2}=0,5 \\ {a}_{10}=a_5\cdot q^5=1,5\cdot 0,5^5=\frac{3}{64}=0,0469 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} a_1=a_2/q=12/0,5=24 \\ {s}_8=a_1\cdot \frac{q^8-1}{q-1}=24\cdot \frac{0,5^8-1}{0,5-1}=\frac{765}{16}=47\frac{13}{16}=47,8125 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} s=45 \\ s=a_1\cdot \frac{q^n-1}{q-1} \\ s/a_1\cdot (q-1)=q^n-1 \\ C=s/a_1\cdot (q-1)+1=45/24\cdot (0,5-1)+1=\frac{1}{16}=0,0625 \\ {q}^n=C \\ n\ln q=\ln C \\ n=\ln (C)/\ln q=\ln 0,0625/\ln 0,5=4 \end{gathered}$$

Skúsiť iný príklad