Těžiště

Hmotné body jsou rozloženy v prostoru následovně - zadané souřadnice v prostoru a jejich hmotnosti. Najděte polohu těžiště této soustavy hmotných bodů:

A₁ [-3; 14; -15] m₁ = 91 kg
A₂ [6; -1; 2] m₂ = 52 kg
A₃ [18; 17; 3] m₃ = 63 kg
A₄ [15; 11; 0] m₄ = 22 kg
A₅ [-11; -3; 10] m₅ = 40 kg
A₆ [-5; 3; 1] m₆ = 41 kg

Správná odpověď:

x₀ =  2,7767
y₀ =  8,2136
z₀ =  -2,0421

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} x_1=-3;y_1=14;z_1=-15 \\ {m}_1=91 \\ {x}_2=6;y_2=-1;z_2=2 \\ {m}_2=52 \\ {x}_3=18;y_3=17;z_3=3 \\ {m}_3=63 \\ {x}_4=15;y_4=11;z_4=0 \\ {m}_4=22 \\ {x}_5=-11;y_5=-3;z_5=10 \\ {m}_5=40 \\ {x}_6=-5;y_6=3;z_6=1 \\ {m}_6=41 \\ m=m_1+m_2+m_3+m_4+m_5+m_6=91+52+63+22+40+41=309 \\ {M}_x=m_1\cdot x_1+m_2\cdot x_2+m_3\cdot x_3+m_4\cdot x_4+m_5\cdot x_5+m_6\cdot x_6=91\cdot (-3)+52\cdot 6+63\cdot 18+22\cdot 15+40\cdot (-11)+41\cdot (-5)=858 \\ {M}_y=m_1\cdot y_1+m_2\cdot y_2+m_3\cdot y_3+m_4\cdot y_4+m_5\cdot y_5+m_6\cdot y_6=91\cdot 14+52\cdot (-1)+63\cdot 17+22\cdot 11+40\cdot (-3)+41\cdot 3=2538 \\ {M}_z=m_1\cdot z_1+m_2\cdot z_2+m_3\cdot z_3+m_4\cdot z_4+m_5\cdot z_5+m_6\cdot z_6=91\cdot (-15)+52\cdot 2+63\cdot 3+22\cdot 0+40\cdot 10+41\cdot 1=-631 \\ {x}_0=\frac{M_x}{m}=\frac{858}{309}=2,7767 \end{gathered}$$

$y_0=\frac{M_y}{m}=\frac{2538}{309}=8,2136$

$z_0=\frac{M_z}{m}=\frac{(-631)}{309}=-2,0421$

Zkusit jiný příklad