Ťažisko

Hmotné body sú rozložené v priestore nasledovne - zadané súradnice v priestore a ich hmotnosti. Nájdite polohu ťažiska tejto sústavy hmotných bodov:

A₁ [-18; -4; -10] m₁ = 85 kg
A₂ [19; -18; 2] m₂ = 56 kg
A₃ [-16; 4; -20] m₃ = 95 kg
A₄ [4; -7; 11] m₄ = 86 kg
A₅ [8; 13; 11] m₅ = 69 kg
A₆ [-16; -19; 0] m₆ = 51 kg

Správna odpoveď:

x₀ =  -4,3122
y₀ =  -3,7149
z₀ =  -2,1109

Postup správneho riešenia:

$$\begin{gathered} x_1=-18;y_1=-4;z_1=-10 \\ {m}_1=85 \\ {x}_2=19;y_2=-18;z_2=2 \\ {m}_2=56 \\ {x}_3=-16;y_3=4;z_3=-20 \\ {m}_3=95 \\ {x}_4=4;y_4=-7;z_4=11 \\ {m}_4=86 \\ {x}_5=8;y_5=13;z_5=11 \\ {m}_5=69 \\ {x}_6=-16;y_6=-19;z_6=0 \\ {m}_6=51 \\ m=m_1+m_2+m_3+m_4+m_5+m_6=85+56+95+86+69+51=442 \\ {M}_x=m_1\cdot x_1+m_2\cdot x_2+m_3\cdot x_3+m_4\cdot x_4+m_5\cdot x_5+m_6\cdot x_6=85\cdot (-18)+56\cdot 19+95\cdot (-16)+86\cdot 4+69\cdot 8+51\cdot (-16)=-1906 \\ {M}_y=m_1\cdot y_1+m_2\cdot y_2+m_3\cdot y_3+m_4\cdot y_4+m_5\cdot y_5+m_6\cdot y_6=85\cdot (-4)+56\cdot (-18)+95\cdot 4+86\cdot (-7)+69\cdot 13+51\cdot (-19)=-1642 \\ {M}_z=m_1\cdot z_1+m_2\cdot z_2+m_3\cdot z_3+m_4\cdot z_4+m_5\cdot z_5+m_6\cdot z_6=85\cdot (-10)+56\cdot 2+95\cdot (-20)+86\cdot 11+69\cdot 11+51\cdot 0=-933 \\ {x}_0=\frac{M_x}{m}=\frac{(-1906)}{442}=-4,3122 \end{gathered}$$

$y_0=\frac{M_y}{m}=\frac{(-1642)}{442}=-3,7149$

$z_0=\frac{M_z}{m}=\frac{(-933)}{442}=-2,1109$

Skúsiť iný príklad