Tetraéder

Určte polohu ťažiska sústavy štyroch hmotných bodov, ktoré majú hmotnosti, m₁, m₂=2m1, m₃=3m1 a m₄=4m1, ak ležia vo vrcholoch rovnorameného tetraédra. (vo všetkých pripadoch medzi susednými hmotnymi bodmi je vzdialenost a. )

Správna odpoveď:

x =  -0,05
y =  -0,0816
z =  0,7348

Postup správneho riešenia:

$$\begin{gathered} m_1=1 \\ {m}_2=2 \\ {m}_3=3 \\ {m}_4=4 \\ a=1 \\ {h}_{33}=\sqrt{3}\mathrm{/}2\cdot a \\ h=a\cdot \sqrt{6}\mathrm{/}3=1\cdot \sqrt{6}\mathrm{/}3\doteq 0.8165 \\ {h}_1={\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot h={\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot 0.8165\doteq 0.5443 \\ {h}_2=h-h_1=0.8165-0.5443\doteq 0.2722 \\ A=(0,0,0) \\ B=(0,h_1,h)=(0,0.54433105395182,0.81649658092773) \\ C=(a\mathrm{/}2,-h_2,h)=(0.5,-0.27216552697591,0.81649658092773) \\ D=(-a\mathrm{/}2,-h_2,h)=(-0.5,-0.27216552697591,0.81649658092773) \\ m=m_1+m_2+m_3+m_4=1+2+3+4=10 \\ x={\displaystyle \frac{m_1\cdot A_x+m_2\cdot B_x+m_3\cdot C_x+m_4\cdot D_x}{m}}={\displaystyle \frac{1\cdot 0+2\cdot 0+3\cdot 0.5+4\cdot (-0.5)}{10}}=-{\displaystyle \frac{1}{20}}=-0.05 \end{gathered}$$

$y={\displaystyle \frac{m_1\cdot A_y+m_2\cdot B_y+m_3\cdot C_y+m_4\cdot D_y}{m}}={\displaystyle \frac{1\cdot 0+2\cdot 0.5443+3\cdot (-0.2722)+4\cdot (-0.2722)}{10}}=-0.0816$

$z={\displaystyle \frac{m_1\cdot A_z+m_2\cdot B_z+m_3\cdot C_z+m_4\cdot D_z}{m}}={\displaystyle \frac{1\cdot 0+2\cdot 0.8165+3\cdot 0.8165+4\cdot 0.8165}{10}}=0.7348$

Skúsiť iný príklad

Zobrazujem 3 komentáre:

Yorick929

Zdravím, môžem sa opýtať čoho výšky sú tie h, h1 a h2 a ako sme sa k nim dostali?
Vopred ďakujem za odpoveď.

7 mesiacov  1 Like Like

Dr Math

Správne riešenie pre zvolenú konfiguráciu súradnicovej sústavy: x = - 1/20, y = - sqrt (3) / 20, z = 3 * sqrt (6) / 10.
Poznámka: výška pravidelného tetraédra h = a * sqrt (6) / 3.

7 mesiacov  Like

Ejlík201

Výšky h1 a h2 sme dostali ako ?

Ďakujem za odpoveď

7 mesiacov  Like

Súvisiace a podobné príklady:

• Ťažisko
  Hmotné body sú rozložené v priestore nasledovne - zadané súradnice v priestore a ich hmotnosti. Nájdite polohu ťažiska tejto sústavy hmotných bodov: A₁ [-15; -17; 11] m₁ = 80 kg A₂ [-16; -13; -5] m₂ = 99 kg A
• Súradnice ťažiska
  Nech A = [3, 2, 0], B = [1, -2, 4] a C = [1, 1, 1] sú 3 body v priestore. Vypočítajte súradnice ťažiska △ ABC (je to priesečník ťažníc).
• Poloha ťažiska
  Na konci valcovej tyče dĺžky 0,8m je pripojena guľa s polomerom 0,1m tak, že jej stred leží na pozdĺžnej osi tyče. Obidve telesa sú z rovnakého rovnorodého materiálu. Guľa je dvakrát ťažšia ako tyč. Určte polohu ťažiska tejto sústavy telies.
• Vypočítejte
  Vypočítejte vzdialenosť bodov X [1,3] od stredu úseku x = 2-6t, y = 1-4t; t je .
• Medzi bodmi
  Nájdite vzdialenosť medzi bodmi (7, -9), (-1, -9)
• Vzdialenosť
  Vypočítajte vzdialenosť bodu A [0, 2] od priamky prechádzajúcej bodmi B [9, 5] a C [1, -1].
• Pologuľa
  Nádoba tvaru pologule je úplne naplnená vodou. Aký polomer má nádoba, keď z nej pri naklonení o 30 stupňov vytečie 10 l vody?
• Obvodová rýchlosť
  Rýchlosť bodov, ktoré ležia na obvode rotujúeho kotúča, je 6 m/s. Rýchlosť bodov, ktoré ležia o 20 cm bližšie k osi otáčania, je 4 m/s. Určte uhlovú rýchlosť kotúča.
• Strany a ťažnice
  Trojuholník ABC v rovine Oxy; sú dané súradnice bodov: A = 2,7 B = -4,3 C = 6, -1 Skúste vypočítať všetky ťažnice a všetky dĺžky strán.
• Na priamke
  Na priamke p: x = 4 + t, y = 3 + 2t, t sú R, určte bod C, ktorý má rovnakú vzdialenosť od bodov A [1,2] a B [-1,0].
• Vektory v priestore 3D
  Dané sú vektory u=(1;3;-4), v=(0;1;1). Určte veľkosť týchto vektorov, vypočitajte uhol vektorov, vzdialenosť medzi vektormi.
• Vzdialenosť bodov
  Vypočítajte vzdialenosť bodov R[-5; 19] a Q[19; 15].
• Kolmý priemet
  Určte vzdialenosť bodu B [1, -3] od kolmého priemetu bodu A [3, -2] na priamku 2 x + y + 1 = 0.
• MO Z9–I–2 - 2017
  V lichobežníku VODY platí, že VO je dlhšou základňou, priesečník uhlopriečok K delí úsečku VD v pomere 3:2 a obsah trojuholníka KOV je rovný 13,5 cm². Určte obsah celého lichobežníka.
• Súradnice stran, výsek, osí
  Je daný trojuholník ABC: A (-2,3), B (4, -1), C (2,5). Určte všeobecné rovnice priamok, na ktorých ležia,: a) strana AB, b) výška Vc, c) Os strany AB, d) Ťažnice ta
• Parametrický tvar
  Vypočítajte vzdialenosť bodu A [2,1] od priamky p: X = -1 + 3t Y = 5-4t Priamka p má parametrický tvar rovnica priamky. ..
• Štvorec
  Body A[-3,-6] a B[-1,-1] sú susednými vrcholmi štvorca ABCD. Vypočítajte obsah štvorca ABCD.