Z6–I–5 MO 2019

Útvar na obrázku vznikl tak, že z velkého kříže byl vystřižen malý kříž. Každý z těchto křížů může být složen z pěti shodných čtverců, přičemž strany malých čtverců jsou poloviční vzhledem ke stranám velkých čtverců. Obsah šedého útvaru na obrázku je 45 cm². Jaký je obsah velkého kříže?

Správná odpověď:

S =  60 cm²

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} S_1=45{\text{cm}}^2 \\ {S}_1=S-S_2 \\ S=5\cdot a^2 \\ {S}_2=5\cdot (a/2{)}^2 \\ {S}_1=5a^2-5\cdot (a/2{)}^2 \\ {S}_1=5a^2-5\cdot a^2/4 \\ {S}_1=15/4\cdot a^2 \\ {a}^2=4\cdot S_1/15 \\ S=5\cdot a^2 \\ S=5\cdot 4\cdot S_1/15 \\ S=4\cdot S_1/3 \\ S=\frac{4}{3}\cdot S_1=\frac{4}{3}\cdot 45=\frac{4\cdot 45}{3}=\frac{180}{3}=60{\text{cm}}^2 \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad