Z6–I–5 MO 2019

Útvar na obrázku vznikol tak, že z veľkého kríža bol vystrihnutý malý kríž. Každý z týchto krížov môže byť zložený z piatich zhodných štvorcov, pričom strany malých štvorcov sú polovičné vzhľadom na strany veľkých štvorcov. Obsah sivého útvaru je 45 cm².

Aký je obsah veľkého kríža?

Správna odpoveď:

S =  60 cm²

Postup správneho riešenia:

$$\begin{gathered} S_1=45{\text{cm}}^2 \\ {S}_1=S-S_2 \\ S=5\cdot a^2 \\ {S}_2=5\cdot (a/2{)}^2 \\ {S}_1=5a^2-5\cdot (a/2{)}^2 \\ {S}_1=5a^2-5\cdot a^2/4 \\ {S}_1=15/4\cdot a^2 \\ {a}^2=4\cdot S_1/15 \\ S=5\cdot a^2 \\ S=5\cdot 4\cdot S_1/15 \\ S=4\cdot S_1/3 \\ S=\frac{4}{3}\cdot S_1=\frac{4}{3}\cdot 45=\frac{4\cdot 45}{3}=\frac{180}{3}=60{\text{cm}}^2 \end{gathered}$$

Skúsiť iný príklad