Tři geodeti

Tři geodeti mají za úkol změřit výšku stožáru stojícího na rovné pláni. První měřič stojící 100 m od stožáru změřil výškový úhel (a), druhý vzdálený 200 m od stožáru změřil výškový úhel (b) a třetí ze vzdálenosti 300 m od stožáru změřil výškový uhel (c). Jak vysoký je stožár jestliže součet výškových úhlů činí 90 stupňů?

Správná odpověď:

h =  100 m

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} a=100\text{m} \\ b=200\text{m} \\ c=300\text{m} \\ \alpha +\beta +\gamma =90°=\frac{\pi }{2} \\ \mathrm{tg}\alpha =h:a \\ \mathrm{tg}\beta =h:b \\ \mathrm{tg}\gamma =h:c \\ \alpha =\mathrm{arctg}h/a \\ \beta =\mathrm{arctg}h/b \\ \gamma =\mathrm{arctg}h/c \\ \mathrm{arctg}h/a+\mathrm{arctg}h/b+\mathrm{arctg}h/c=\frac{\pi }{2} \\ h=100=100\text{m} \\ \text{ Zkousˇka spraˊvnosti: } \\ \alpha =\frac{180°}{\pi }\cdot \mathrm{arctg}(h/a)=\frac{180°}{\pi }\cdot \mathrm{arctg}(100/100)=45{}^{\circ } \\ \beta =\frac{180°}{\pi }\cdot \mathrm{arctg}(h/b)=\frac{180°}{\pi }\cdot \mathrm{arctg}(100/200)\doteq 26,5651{}^{\circ } \\ \gamma =\frac{180°}{\pi }\cdot \mathrm{arctg}(h/c)=\frac{180°}{\pi }\cdot \mathrm{arctg}(100/300)\doteq 18,4349{}^{\circ } \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad