Kvadratické trojčleny

Pro každý z následujících problémů určete kořeny rovnice. Vzhledem k kořenům načrtněte graf a vysvětlete, jak se váš náčrt shoduje s danými kořeny a tvarem rovnice:

g(x)=36x²-12x+5
h(x)=x²-4x+20
f(x)=4x²-24x+45
p(x)=9x²-36x+40
g(x)=x²-2x+10
g(x)=x2-x-6

Správná odpověď:

g₁ = 0,166667+0,333333i
g₂ = 0,166667-0,333333i
h₁ = 2+4i
h₂ = 2-4i

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} g(x)=36x^2-12x+5 \\ 36g^2-12g+5=0 \\ 36g^2-12g+5=0 \\ a=36;b=-12;c=5 \\ D=b^2-4ac=12^2-4\cdot 36\cdot 5=-576 \\ D<0 \\ {g}_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{12\pm \sqrt{-576}}{72}=\frac{12\pm 24\sqrt{-1}}{72} \\ {g}_{1,2}=\frac{12\pm 24\text{i}}{72} \\ {g}_{1,2}=0,166667\pm 0,333333\text{i} \\ {g}_1=0,166667+0,33333333333333\text{i} \\ {g}_2=0,166667-0,33333333333333\text{i} \\ {g}_1=0,166667+0,333333i \end{gathered}$$

Výpočet overte naším kalkulátorem kvadratických rovnic.

$g_2=0,166667-0,333333i$

$$\begin{gathered} h(x)=x^2-4x+20 \\ {h}^2-4\cdot h+20=0 \\ {h}^2-4\cdot h+20=0 \\ {h}^2-4h+20=0 \\ a=1;b=-4;c=20 \\ D=b^2-4ac=4^2-4\cdot 1\cdot 20=-64 \\ D<0 \\ {h}_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{4\pm \sqrt{-64}}{2}=\frac{4\pm 8\sqrt{-1}}{2} \\ {h}_{1,2}=\frac{4\pm 8\text{i}}{2} \\ {h}_{1,2}=2\pm 4\text{i} \\ {h}_1=2+4\text{i} \\ {h}_2=2-4\text{i} \\ {h}_1=2+4i \end{gathered}$$

Výpočet overte naším kalkulátorem kvadratických rovnic.

$h_2=2-4i$

Zkusit jiný příklad