FO - Nerovnoramenné váhy

Na konci jednoho ramena nerovnoramenných vah, které jsou v rovnováze, je na vzduchu zavěšené olověné těleso o objemu V1, na konci druhého ramena hliníkové těleso o objemu V2. Ramena vah mají velikost l1 a l2, hustota olova h1 = 11 340 kg/m³, hustota hliníku h2 = 2 700 kg/m³. Zaměníme-li polohu těles a ponoříme je do vody, nastane opět rovnováha (h3 = 1000 kg/m³). Vztlakovou sílu vzduchu neuvažujte.

a) Jaký je poměr velikostí ramen vah l1 : l2?
b) Jaký je poměr objemů těles V2 : V1?

Správná odpověď:

a =  1,2034
b =  5,0543

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} h_1=11340{\text{kg/m}}^3 \\ {h}_2=2700{\text{kg/m}}^3 \\ {h}_3=1000{\text{kg/m}}^3 \\ {M}_1=M_2 \\ {l}_1\cdot m_1=l_2\cdot m_2 \\ {l}_1\cdot h_1\cdot V_1=l_2\cdot h_2\cdot V_2 \\ {l}_2\cdot (h_1-h_3)\cdot V_1=l_1\cdot (h_2-h_3)\cdot V_2 \\ a=l_1:l_2 \\ b=V_2:V_1 \\ a\cdot h_1=b\cdot h_2 \\ (h_1-h_3)=a\cdot (h_2-h_3)\cdot b \\ a\cdot h_1=b\cdot h_2 \\ (h_1-h_3)=a\cdot (h_2-h_3)\cdot b \\ (11340-1000)=(b\cdot 2700/11340)\cdot (2700-1000)\cdot b \\ (11340-1000)=(b\cdot 2700/11340)\cdot (2700-1000)\cdot b \\ -404,7619047619b^2+10340=0 \\ 404,7619047619b^2-10340=0 \\ {b}_{1,2}=\pm \sqrt{10340/404,7619047619}=\pm 5,054293457 \\ {b}_1=5,054293457 \\ {b}_2=-5,054293457 \\ b=b_1=5,0543\doteq 5,0543 \\ a=b\cdot h_2/h_1=5,0543\cdot 2700/11340=1,2034 \end{gathered}$$

Výpočet overte naším kalkulátorem kvadratických rovnic.

$b=b_1=5,0543$

Zkusit jiný příklad