Nerovnoramenných 7990

Na konci jedného ramena nerovnoramenných váh, ktoré sú v rovnováhe, je na vzduchu zavesené olovené teleso s objemom V1, na konci druhého ramena hliníkové teleso s objemom V2. Ramená váh majú veľkosť l1 a l2, hustota olova h1 = 11 340 kg/m³, hustota hliníka h2 = 2 700 kg/m³. Ak zameníme polohu telies a ponoríme ich do vody, nastane opäť rovnováha (h3 = 1000 kg/m³). Vztlakovú silu vzduchu neuvažujte.

a) Aký je pomer veľkostí ramien váh l1 : l2?
b) Aký je pomer objemov telies V2 : V1?

Správna odpoveď:

a =  1,2034
b =  5,0543

Postup správneho riešenia:

$$\begin{gathered} h_1=11340{\text{kg/m}}^3 \\ {h}_2=2700{\text{kg/m}}^3 \\ {h}_3=1000{\text{kg/m}}^3 \\ {M}_1=M_2 \\ {l}_1\cdot m_1=l_2\cdot m_2 \\ {l}_1\cdot h_1\cdot V_1=l_2\cdot h_2\cdot V_2 \\ {l}_2\cdot (h_1-h_3)\cdot V_1=l_1\cdot (h_2-h_3)\cdot V_2 \\ a=l_1:l_2 \\ b=V_2:V_1 \\ a\cdot h_1=b\cdot h_2 \\ (h_1-h_3)=a\cdot (h_2-h_3)\cdot b \\ a\cdot h_1=b\cdot h_2 \\ (h_1-h_3)=a\cdot (h_2-h_3)\cdot b \\ (11340-1000)=(b\cdot 2700/11340)\cdot (2700-1000)\cdot b \\ (11340-1000)=(b\cdot 2700/11340)\cdot (2700-1000)\cdot b \\ -404,7619047619b^2+10340=0 \\ 404,7619047619b^2-10340=0 \\ {b}_{1,2}=\pm \sqrt{10340/404,7619047619}=\pm 5,054293457 \\ {b}_1=5,054293457 \\ {b}_2=-5,054293457 \\ b=b_1=5,0543\doteq 5,0543 \\ a=b\cdot h_2/h_1=5,0543\cdot 2700/11340=1,2034 \end{gathered}$$

Výpočet overte naším kalkulátorom kvadratických rovníc .

$b=b_1=5,0543$

Skúsiť iný príklad