Polohový vektor

Polohový vektor hmotného bodu, který se pohybuje v rovině, je možné v zavedené
vztažné soustavě vyjádřit vztahem:

r(t) = (2t + 3t²; 6t + 3),

kde t je čas v sekundách a souřadnice vektoru jsou v metrech.

Vypočítejte:

a) jaká je poloha hmotného bodu v době t = 2s
b) velikost rychlosti hmotného bodu v době t = 2s
c) velikost zrychlení hmotného bodu v době t = 3s

Správná odpověď:

x =  16
y =  15
v =  15,2315 m/s
a =  6 m/s²

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} t_1=2\text{s} \\ r(t)=(3t^2+2t;6t+3) \\ x=3\cdot t_1^2+2\cdot t_1=3\cdot 2^2+2\cdot 2=16 \end{gathered}$$

$y=6\cdot t_1+3=6\cdot 2+3=15$

$$\begin{gathered} t_2=2\text{s} \\ v(t)=r^{\prime }(t)=(6t+2;6) \\ {v}_0=6\cdot t_2+2=6\cdot 2+2=14 \\ {v}_1=6 \\ v=\sqrt{v_0^2+v_1^2}=\sqrt{14^2+6^2}=2\sqrt{58}=15,2315\text{m/s} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} t_3=3\text{s} \\ a(t)=r^{\prime \prime }(t)=(6;0) \\ a=\sqrt{6^2+0^2}=6{\text{m/s}}^2 \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad