Vypočítejte: 8174

Polohový vektor hmotného bodu, který se pohybuje v rovině, lze v zavedené vztažné soustavě vyjádřit vztahem:

r(t) = (1 + 5t + 2t² ; 3t + 1),

kde t je čas v sekundách a souřadnice vektoru jsou v metrech. Vypočítejte:

a) jaká je poloha hmotného bodu v době t = 3s?
b) velikost rychlosti hmotného bodu v době t = 1s
c) velikost zrychlení hmotného bodu v době t = 4s

Správná odpověď:

x =  34
y =  10
v =  9,4868 m/s
a =  4 m/s²

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} t_1=3\text{s} \\ r(t)=(1+5t+2t^2;3t+1) \\ x=1+5\cdot t_1+2\cdot t_1^2=1+5\cdot 3+2\cdot 3^2=34 \end{gathered}$$

$y=3\cdot t_1+1=3\cdot 3+1=10$

$$\begin{gathered} t_2=1\text{s} \\ v(t)=r^{\prime }(t)=(5+4t;3) \\ {v}_0=5+4\cdot t_2=5+4\cdot 1=9 \\ {v}_1=3 \\ v=\sqrt{v_0^2+v_1^2}=\sqrt{9^2+3^2}=3\sqrt{10}=9,4868\text{m/s} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} t_3=4\text{s} \\ a(t)=r^{\prime \prime }(t)=(4;0) \\ a=\sqrt{4^2+0^2}=4{\text{m/s}}^2 \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad