Obsah trojúhelníku a útvaru

V kostce ABCDEFGH je obsah trojúhelníku ABK √20 cm². Kolik cm² má obsah útvaru ABGH v kostce, pokud víš, že K je střed hrany CG?

Správná odpověď:

S =  11,3137 cm²

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} S_1=\sqrt{20}=2\sqrt{5}{\text{cm}}^2\doteq 4,4721{\text{cm}}^2 \\ b=\sqrt{a^2+(a/2{)}^2} \\ b=\sqrt{5}/2\cdot a \\ {S}_1=\frac{a\cdot b}{2} \\ {S}_1=\frac{a\cdot \sqrt{5}/2\cdot a}{2} \\ 4S_1=\sqrt{5}{a}^2 \\ a=\sqrt{4\cdot S_1/\sqrt{5}}=\sqrt{4\cdot 4,4721/\sqrt{5}}=2\sqrt{2}\text{cm}\doteq 2,8284\text{cm} \\ d=\sqrt{2}\cdot a=\sqrt{2}\cdot 2,8284=4\text{cm} \\ S=a\cdot d=2,8284\cdot 4=8\sqrt{2}\doteq 11,3137{\text{cm}}^2 \\ \text{ Zkou?ka spraˊvnosti: } \\ b=\sqrt{a^2+(a/2{)}^2}=\sqrt{2,8284^2+(2,8284/2{)}^2}=\sqrt{10}\text{cm}\doteq 3,1623\text{cm} \\ {S}_1=\frac{a\cdot b}{2}=\frac{2,8284\cdot 3,1623}{2}=2\sqrt{5}{\text{cm}}^2\doteq 4,4721{\text{cm}}^2 \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad