Centimetre - rotace

Trojúhelník, jehož strany jsou 20 cm, 16 cm a 12 cm, se otáčí kolem své největší strany jako osy. Jaký je objem prostoru, který se generuje po úplné otáčce v kubických centimetrech?

Správná odpověď:

V =  1930,19 cm³

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} a=20\text{cm} \\ b=16\text{cm} \\ c=12\text{cm} \\ a>b>c \\ s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{20+16+12}{2}=24\text{cm} \\ S=\sqrt{s\cdot (s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)}=\sqrt{24\cdot (24-20)\cdot (24-16)\cdot (24-12)}=96{\text{cm}}^2 \\ S=\frac{a\cdot r}{2} \\ r=2\cdot S/a=2\cdot 96/20=\frac{48}{5}=9,6\text{cm} \\ {h}_1=\sqrt{b^2-r^2}=\sqrt{16^2-9,6^2}=\frac{64}{5}=12,8\text{cm} \\ {h}_2=\sqrt{c^2-r^2}=\sqrt{12^2-9,6^2}=\frac{36}{5}=7,2\text{cm} \\ {V}_1=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\cdot h_1=\frac{1}{3}\cdot 3,1416\cdot 9,6^2\cdot 12,8\doteq 1235,3245{\text{cm}}^3 \\ {V}_2=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\cdot h_2=\frac{1}{3}\cdot 3,1416\cdot 9,6^2\cdot 7,2\doteq 694,87{\text{cm}}^3 \\ V=V_1+V_2=1235,3245+694,87=1930,19{\text{cm}}^3 \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad