Rovnostranný kužel

Číše má tvar rovnostranného kužele (strana „s” je stejně velká jako průměr jeho podstavy - osový řez je rovnostranný trojúhelník)
Má se do něj vejít 0,2 litru kapaliny při výšce hladiny 1 cm pod okraj. Vypočítejte jeho průměr

Správná odpověď:

d =  9,5906 cm

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} s=d=2r \\ V=0,2\text{l}\to {\text{cm}}^3=0,2\cdot 1000{\text{cm}}^3=200{\text{cm}}^3 \\ V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h \\ {s}^2=r^2+h^2 \\ (2r{)}^2=r^2+h^2 \\ V=\frac{1}{3}\pi r^2\sqrt{s^2-r^2} \\ \frac{3V}{\pi }=r^2\sqrt{4r^2-r^2} \\ \frac{3V}{\pi }=r^2\sqrt{3r^2} \\ \frac{3V}{\pi }=r^3\sqrt{3} \\ Q=\frac{3\cdot V}{\pi \cdot \sqrt{3}}=\frac{3\cdot 200}{3,1416\cdot \sqrt{3}}\doteq 110,2658 \\ r=\sqrt[3]{Q}=\sqrt[3]{110,2658}\doteq 4,7953\text{cm} \\ d=2\cdot r=2\cdot 4,7953\doteq 9,5906\text{cm} \\ \text{ Zkousˇka spraˊvnosti: } \\ s=2\cdot r=2\cdot 4,7953\doteq 9,5906\text{cm} \\ h=\sqrt{s^2-r^2}=\sqrt{9,5906^2-4,7953^2}\doteq 8,3057\text{cm} \\ {V}_2=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 3,1416\cdot 4,7953^2\cdot 8,3057=200{\text{cm}}^3 \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad