Kúžeľ

Do rotačného kužeľa s rozmermi - polomerom podstavy R = 8 cm a výškou H = 8 cm vpíšte valec maximálneho objemu tak, aby os valca bola kolmá na os kužeľa. Určte rozmery valca.

Správna odpoveď:

r =  2,67 cm
h =  5,33 cm

Postup správneho riešenia:

$$\begin{gathered} V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h \\ x/R=2r/H \\ r=\frac{H}{2R}x=\frac{8}{2\cdot 8}x \\ h=2(R-x)=2(8-x) \\ V=\frac{1}{3}\pi (\frac{8}{2\cdot 8}x{)}^2\cdot 2(8-x) \\ V=\frac{\pi 8^2}{6\cdot 8^2}(8x^2-x^3) \\ V‘=\frac{\pi 8^2}{6\cdot 8^2}(2\cdot 8x-3x^2) \\ V‘=0 \\ 2\cdot 8x-3x^2=0 \\ {x}_1=0 \\ 2\cdot 8-3x=0 \\ 16=3x \\ x=5,333cm \\ r=\frac{8}{2\cdot 8}\cdot 5,333=2,67\text{cm} \end{gathered}$$

$h=2(8-5,333)=5,33\text{cm}$

Skúsiť iný príklad